חקירת פונקציית פולינום: דף עבודה ותרגילים לכיתה י׳ 5 יח״ל

27 סוגי תרגילים בנושא חקירת פונקציית פולינום, מהקל לקשה: נגזרת פולינום, ערך הנגזרת, שיפוע משיק ועוד. עם דף תשובות בדוק · מוכן להדפסה או PDF · התחלה בחינם. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.

צרו דף חדש בנושא

מה יש בדף

נגזרת פולינום: כללי הגזירה, מקדמים שבריים, פתיחת סוגריים, מציאת טעות, פונקציה שהנגזרת שלה נתונה
ערך הנגזרת: הצבה בנגזרת, f′(x) = k, סימן הנגזרת בגרף, f′(x) = g′(x), הוכחות
שיפוע משיק: שיפוע בנקודה, נקודה עם שיפוע נתון, משיק מקביל ומאונך, הוכחות
משוואת משיק לגרף הפונקציה: משיק בנקודה, בשיפוע נתון, מקביל ומאונך לישר, חיתוך עם הצירים, משיק ומיתר
משיק עם פרמטרים: גזירה עם פרמטרים, פרמטר מתוך שיפוע, מקביל לציר או לישר, ישר משיק, שני פרמטרים, משיק מנקודה חיצונית
נגזרות פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי: (ax + b)ⁿ, ‏(g(x))ⁿ, משיק, בשתי דרכים, משיקים בשיפוע נתון, פרמטר, משיק אופקי
נגזרת מכפלת שתי פונקציות: כלל המכפלה, בשתי דרכים, h′(a) מנתונים ומגרף, טעות (fg)′ = f′g′, פירוק לגורמים, משיק, ★ שלושה גורמים
מציאת נקודות קיצון: נגזרת, טבלת סימנים, מקסימום / מינימום / לא קיצון, סקיצה, טעות, הוכחה, דוגמה
מציאת תחומי עלייה וירידה: סימן הנגזרת בכל קטע, סקיצה, עולה / יורדת בנקודה, הוכחה, טעות, פרמטר, דוגמה
חקירה מלאה: תחום, קיצון, עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים, סקיצה; סקיצה מתאימה, השקה לציר, פרמטר; סעיפי חשיבה
נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן נקודות קיצון: f' = 0 בלי החלפת סימן: סיווג כל הנקודות, הוכחה, נגזרת מפורקת, גרף הנגזרת, טעות, פרמטר
חקירה עם פרמטרים: קיצון נתון ← פרמטר וסוג, שני פרמטרים, תחומים נתונים, עולה בנקודה, טענה על קיצון, גרף עם מידות, ★ שלושה פרמטרים
חקירה — הבעה באמצעות פרמטרים: קיצון ותחומים באמצעות a, תנאי ← פרמטר, הוכחה, חקירה מלאה עם סקיצה, ★ ax⁴ − 4x³
חקירת פונקציה מורכבת: (g(x))ⁿ: אפסי g ואפסי g′, זוגיות הריבוי, חקירה עם סקיצה וסעיפי חשיבה, פרמטר, ★ פישוט לפני גזירה
חקירת פונקציית מכפלה של שתי פונקציות: (x − p)ʲ(x − q)ˡ: קיצון, תחומים, y′ = 0 וסיווג, חקירה עם סקיצה וסעיפי חשיבה, פרמטר
פונקציה זוגית ואי־זוגית: f(−x) = f(x) / −f(x), נגד־דוגמה, גרפים, השלמת גרף בסימטריה, זוגיות הנגזרת, הוכחות כלליות, ★ פרמטר, דוגמה
הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת שלה: גרף f ← סימן f′, בחירת גרף f′, גרף f′ ← תחומים וקיצון, משיק וסקיצה, סקיצה של f′, נכון / לא נכון, ★ תחום סגור
בעיות קיצון מספריות: סכום / הפרש קבוע, מספר וריבועו, מספר וחזקתו השלישית, מכפלת חזקות, אילוץ לינארי וריבועי, שלושה מספרים, תחום סגור, פרמטר, ★ ערך האופטימום נתון
בעיות קיצון גיאומטריות: היקף קבוע, גדרות ומחיצות, משולש, מעוין ודלתון, קופסה פתוחה מגיליון, חזית בית, תיבה ממוטות, תיבה עם שטח פנים נתון, מקבילית חסומה, מלבן במשולש, ריבוע בתוך ריבוע (חפיפת משולשים), ישר המקביל לצלע במשולש (משפט תאלס), צורות על קטע, פרמטר, ★ השטח המקסימלי נתון, תחום סגור
בעיות קיצון בפונקציות וגרפים: נקודה על ישר / פרבולה ← שטח, מרחקים והיקף, קטע אנכי בין גרפים (ישר ופרבולה, ישר ופונקציה ממעלה שלישית, שתי פרבולות), מלבן בין שתי פרבולות ומתחת ל־c − kx⁴, מלבן מתחת לציר x (רביע שלישי / רביעי), משולש בין נקודות החיתוך של פרבולה וישר ונקודה נעה, נקודה על ישר / פרבולה הקרובה ביותר לנקודה, נקודה על פרבולה הקרובה ביותר לישר, שיפוע מינימלי, תחום סגור, משיק עם t, ★ קטע בתחום סגור
פונקציה קדומה לפולינום: כל הפונקציות הקדומות, מקדם שבר, פתיחת סוגריים, בדיקה בגזירה, מציאת טעות
פונקציה קדומה שעוברת בנקודה: נגזרת ונקודה על הגרף, חיתוך עם הצירים, ערך נתון, שתי פונקציות ונקודות החיתוך שלהן
פונקציה קדומה ונקודות קיצון: ערך מינימום / מקסימום נתון, נקודת קיצון נתונה, פרמטר בנגזרת, סכום והפרש ערכי הקיצון
פונקציה קדומה ומשיק: ישר משיק, משוואת משיק בנקודה, משיק מקביל לציר או לישר, משיק שעובר בנקודה, זווית 45°
פונקציה קדומה עם פרמטרים: פרמטרים בנגזרת: נקודת קיצון, שיפוע משיק, נקודות על הגרף, ★ שלוש נקודות
מגרף הנגזרת לפונקציה הקדומה: גרף הנגזרת ← עלייה, ירידה וקיצון של הפונקציה, הנוסחה מהגרף ונתון, משפחת הפונקציות הקדומות
מציאת פונקציה מהנגזרת השנייה: נתונה f″: ערכי f′ ו־f, נקודת קיצון, משיק, שתי נקודות, ★ f″ קבועה ושלוש נקודות

דף לדוגמה (רמה בינונית)

שם: כיתה: תאריך:

חקירת פונקציית פולינום — דף עבודה

כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: נגזרת פולינום

גזרו את הפונקציות וענו על השאלות (מקדם שבר — בשבר, לא בעשרוני).

א.
f(x) = 7x⁴ − 4x + 42
ב.
ענבר גזרה את f(x) = 6x⁵5 + x⁴ − 9 וקיבלה f'(x) = 6x⁵ + 4x⁴. מה הטעות?

שאלה 2: ערך הנגזרת

מצאו את הנגזרת והציבו בה, או פתרו את המשוואה שבשאלה.

א.
y = 2x³ + 18x² + 58x − 2. מצאו את הנקודות על הגרף שבהן y' = 10
ב.
f(x) = x³ + 5x + 2. כדי לחשב את f'(1) ראניה חישבה f(1) = 8 ואז גזרה: f'(1) = (8)′ = 0. מה הטעות?

שאלה 3: שיפוע משיק

שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת בה. ענו על השאלות.

א.
f(x) = −3x² − 7x − 7. מצאו את הנקודה על הגרף שבה שיפוע המשיק הוא −31
ב.
y = x³ + 6x² + 9. מצאו את הנקודות שבהן המשיק לגרף מקביל לציר x

שאלה 4: משוואת משיק לגרף הפונקציה

משוואת המשיק: y − y₀ = m(x − x₀), כאשר m = f′(x₀). רשמו את התשובה בצורה y = mx + b.

א.
מצאו את משוואת המשיק לגרף y = x² − 4x + 6 ששיפועו −2
ב.
מצאו את משוואות המשיקים לגרף y = x² − 10x + 16 בנקודות החיתוך שלו עם ציר x

שאלה 5: משיק עם פרמטרים

הפרמטרים הם מספרים קבועים. רשמו את התנאי כמשוואה ופתרו.

א.
y = ax² + 2x + 4. המשיק לגרף בנקודה x = −3 מקביל לישר y = −5x + 2. מצאו את a.
ב.
f(x) = ax³ + 4x − 3. שיפוע המשיק לגרף בנקודה x = 2 הוא 16.
1. א. מצאו את a.
2. ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה זו.

שאלה 6: נגזרות פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי

גזרו בכלל השרשרת: [(g(x))ⁿ]′ = n(g(x))^{n − 1} · g′(x).

א.
f(x) = −4(x³ + 4x)⁵
ב.
מצאו את משוואת המשיק לגרף y = (x + 1)³ בנקודה x = −3

שאלה 7: נגזרת מכפלת שתי פונקציות

כלל המכפלה: (f · g)′ = f′ · g + f · g′.

א.
y = x(x + 4)³. גזרו ופרקו לגורמים
ב.
h(x) = f(x) · g(x), כאשר f(x) = x² + 3x − 2. גרף g עובר בנקודה (2;−3), ושיפוע המשיק לגרף g בנקודה זו הוא 2. חשבו h′(2)

שאלה 8: מציאת נקודות קיצון

מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן (לפי סימן הנגזרת).

א.
f(x) = x⁴ − 8x² − 8
ב.
y = x⁴ − 12x³ + 48x² − 80x − 1. מצאו את הנקודות שבהן y' = 0, וקבעו לכל אחת אם היא מקסימום, מינימום או לא נקודת קיצון.

שאלה 9: מציאת תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה (סימן הנגזרת בכל קטע).

א.
y = x³3 − 5x²2 + 6x + 4
ב.
הוכיחו שהפונקציה y = x³ + 5x − 7 עולה לכל x

שאלה 10: חקירה מלאה

ענו על השאלות.

א.
נתונה הפונקציה f(x) = −x⁴ + 18x² − 17.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי העלייה והירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
2. ב. נתונה הפונקציה g(x) = −f(x) − 1. ענו בלי לגזור את g: מצאו את נקודות הקיצון של g וקבעו את סוגן.
3. ג. כמה פתרונות יש למשוואה g(x) = 0?
ב.
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 3x − 2.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי העלייה והירידה
  5. 5. הראו שהגרף משיק לציר x בנקודה (−1;0)
  6. 6. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
2. ב. נתון הישר y = k, כאשר k הוא פרמטר. היעזרו בנקודות הקיצון ובסקיצה: לאילו ערכים של k יש לישר y = k בדיוק שתי נקודות משותפות עם גרף הפונקציה?
3. ג. לאילו ערכים של k יש לישר y = k בדיוק שלוש נקודות משותפות עם גרף הפונקציה?

שאלה 11: נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן נקודות קיצון

נקודה שבה f'(x) = 0 היא נקודת קיצון רק אם f' מחליפה בה סימן. ענו על השאלות.

א.
y = x⁴2 − 20x³3 + 33x² − 72x + 6. מצאו את כל הנקודות שבהן y' = 0, וקבעו לכל אחת אם היא מקסימום, מינימום או לא נקודת קיצון.
ב.
בסרטוט גרף הנגזרת f′(x) של פונקציה f; על ציר x מסומנים המקומות שבהם f′(x) = 0.
1. א. קבעו לכל אחד מהם אם יש בו ל־f מקסימום, מינימום או לא נקודת קיצון.
2. ב. רשמו את תחומי העלייה והירידה של f.

שאלה 12: חקירה עם פרמטרים

ב־נקודת קיצון f'(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן. מצאו את הפרמטרים ובדקו שהנקודה אכן קיצון.

א.
לפונקציה y = x³ + ax² + bx − 3 יש נקודות קיצון ב־x = −3 וב־x = 3. מצאו את a ואת b, ואת שיעורי נקודות הקיצון וסוגן.
ב.
מיכל: „לפונקציה y = x³ + mx² + 3x יש נקודת קיצון ב־x = 1, ולכן m = −3”. האם היא צודקת?

שאלה 13: חקירה — הבעה באמצעות פרמטרים

התשובות — ביטויים בפרמטר. סימן הפרמטר הנתון קובע את סדר הנקודות.

א.
y = x³ − 6ax² ‏(a < 0). הביעו באמצעות a את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ב.
y = x³ + 3ax² ‏(a > 0). הביעו באמצעות a את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה.

שאלה 14: חקירת פונקציה מורכבת

ענו על השאלות.

א.
y = (x² + 4x)². מצאו את נקודות הקיצון
ב.
y = (x² − 1)³. מצאו את הנקודות שבהן y' = 0 וקבעו את סוגן

שאלה 15: חקירת פונקציית מכפלה של שתי פונקציות

ענו על השאלות.

א.
נתונה הפונקציה f(x) = (x + 1)³(x − 4)².
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי העלייה והירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
2. ב. נתון הישר y = k, כאשר k הוא פרמטר. היעזרו בנקודות הקיצון ובסקיצה: לאילו ערכים של k יש לישר y = k בדיוק שתי נקודות משותפות עם גרף הפונקציה?
3. ג. לאילו ערכים של k יש לישר y = k בדיוק שלוש נקודות משותפות עם גרף הפונקציה?
ב.
y = (x − 1)³(x + 3). מצאו את הנקודות שבהן y' = 0 וקבעו את סוגן

שאלה 16: פונקציה זוגית ואי־זוגית

זוגית: f(−x) = f(x) (סימטריה לציר y); אי־זוגית: f(−x) = −f(x) (סימטריה לראשית).

א.
קבעו אם f(x) = (x + 4)² − 8x זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית, ונמקו
ב.
בסרטוט חלק הגרף של פונקציה זוגית f עבור x ≥ 0: חלק מהפרבולה y = −2x² + 12x (מקסימום ב־A(3;18)). השלימו את הגרף עבור x < 0 ורשמו את הנוסחה של החלק שהשלמתם.

שאלה 17: הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת שלה

f עולה ⇔ f′ > 0; קיצון ⇔ f′ מחליפה סימן; f′ = 0 בלי החלפת סימן — לא קיצון.

א.
לפונקציה f יש נקודת קיצון אחת בלבד — מינימום ב־x = 3, ובנקודה x = −2 מתקיים f′(−2) = 0. איזה מהגרפים 1–4 יכול לתאר את f′?
גרף 1
גרף 2
גרף 3
גרף 4
ב.
בסרטוט גרף f′(x) — ישר העובר בנקודות (4;0) ו־(0;−8). נתון f(x) = x² − 8x + 4.
1. א. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f.
2. ב. מצאו את משוואת המשיק לגרף f בנקודה x = −1.
3. ג. שרטטו סקיצה של f.

שאלה 18: בעיות קיצון מספריות

סמנו משתנה, הביעו את הגודל שמחפשים כפונקציה שלו, גזרו, ובדקו שהנקודה היא אכן מקסימום / מינימום (ובתחום סגור — גם את הקצוות).

א.
מצאו שני מספרים חיוביים שסכומם 9, ושמכפלת האחד בריבוע השני מקסימלית. מהי המכפלה?
ב.
שלושה מספרים חיוביים מקיימים: סכומם 15, ואחד מהם גדול פי 2 מאחר. מה צריכים להיות המספרים כדי שמכפלתם תהיה הגדולה ביותר?

שאלה 19: בעיות קיצון גיאומטריות

הביעו את השטח (או ההיקף, הנפח) כפונקציה של משתנה אחד, גזרו ובדקו את סוג הנקודה. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

א.
נתון מלבן ABCD שצלעותיו AB = 18 ס״מ ו־BC = 16 ס״מ. על הצלעות מסמנים: AP = CR = x (על AB ועל CD) ו־BQ = DS = 2x (על BC ועל DA).
1. א. הביעו באמצעות x את שטח המקבילית PQRS.
2. ב. מה צריך להיות x כדי ששטח PQRS יהיה מינימלי?
ב.
נתון משולש ABC שבו BC = 16 ס״מ, והגובה AK לצלע BC הוא AK = 12 ס״מ. ישר המקביל ל־BC, במרחק x ס״מ מהקדקוד A, חותך את AB בנקודה D ואת AC בנקודה E. מ־E מעבירים ישר המקביל ל־AB, והוא חותך את BC בנקודה F.
1. א. הביעו באמצעות x את DE (משפט תאלס המורחב) ואת המרחק בין DE ל־BC.
2. ב. מה צריך להיות x כדי ששטח המקבילית DBFE יהיה הגדול ביותר? מהו השטח?

שאלה 20: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים

נקודה על גרף: (x;f(x)). הביעו את הגודל המבוקש באמצעות x, גזרו ובדקו את סוג הנקודה (בתחום סגור — גם את הקצוות).

א.
בין הפרבולה y = −x² + 12 וציר x חסום מלבן ABCD: ‏A ו־B על הפרבולה, ‏C ו־D על ציר x. מה צריכות להיות מידות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי?
ב.
באיזו נקודה על גרף y = x³ + 9x² − 7x שיפוע המשיק מינימלי? מצאו את משוואת המשיק בה.

שאלה 21: פונקציה קדומה לפולינום

מצאו את כל הפונקציות הקדומות של כל פונקציה, וענו על השאלות.

א.
f(x) = −x⁴ + x³ + 6x
ב.
f(x) = −4x³ − 3x² − 75

שאלה 22: פונקציה קדומה שעוברת בנקודה

נתונה הנגזרת ונתון נוסף על הפונקציה. מצאו את הפונקציה וענו על השאלות.

א.
f'(x) = −x² + 4x − 1. גרף הפונקציה f עובר בנקודה (1;4). מצאו את f(x).
ב.
f'(x) = −3x² + 6x + 16, וגרף הפונקציה f עובר בנקודה (1;−30).
1. א. מצאו את f(x).
2. ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרף f עם ציר x.

שאלה 23: פונקציה קדומה ונקודות קיצון

נתונה הנגזרת ונתון על נקודות הקיצון. מצאו את הפונקציה וענו על השאלות.

א.
f'(x) = 3x² − 24x + 45. ערך המקסימום המקומי של f הוא 60.
1. א. מצאו את f(x).
2. ב. מצאו את נקודת הקיצון השנייה של f וקבעו את סוגה.
ב.
f'(x) = x² + 2x. הנקודה (−2;−83) היא נקודת מקסימום של f.
1. א. מצאו את f(x).
2. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f.

שאלה 24: פונקציה קדומה ומשיק

נתונה הנגזרת ונתון על משיק לגרף. מצאו את הפונקציה וענו על השאלות.

א.
f'(x) = 6x² − 4x + 3. המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה שבה x = −3 עובר בנקודה (−2;−11).
1. א. מצאו את f(x).
2. ב. מצאו את משוואת המשיק.
ב.
f'(x) = −x² + x + 5. משוואת המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה שבה x = 2 היא y = 3x − 15. מצאו את f(x).

שאלה 25: פונקציה קדומה עם פרמטרים

בנגזרת יש פרמטרים. מצאו אותם ואת הפונקציה, וענו על השאלות.

א.
f'(x) = ax + b, כאשר a ו־b פרמטרים. לפונקציה f יש נקודת קיצון (1;−9), וגרף f עובר בנקודה (0;−7).
1. א. מצאו את a ואת b.
2. ב. מצאו את f(x).
ב.
f'(x) = ax² − 2x, כאשר a פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה (−2;−7) הוא −8.
1. א. מצאו את a.
2. ב. מצאו את f(x).

שאלה 26: מגרף הנגזרת לפונקציה הקדומה

היעזרו בגרף הנגזרת ובנתונים, וענו על השאלות.

א.
בסרטוט גרף הנגזרת f′(x) של פונקציה f.
1. א. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f.
2. ב. מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של f וקבעו את סוגן.
ב.
בסרטוט גרף הנגזרת f′(x) של פונקציה f: פרבולה שמשיקה לציר x בנקודה (−1;0).
1. א. האם ל־f יש נקודות קיצון? נמקו.
2. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של f.

שאלה 27: מציאת פונקציה מהנגזרת השנייה

נתונה הנגזרת השנייה ונתונים נוספים. מצאו את הפונקציה וענו על השאלות.

א.
f''(x) = 18x + 2, f'(−1) = 5 ו־f(3) = 82. מצאו את f'(x) ואת f(x).
ב.
f''(x) = −6x + 12. הנקודה (1;−12) היא נקודת מינימום של f.
1. א. מצאו את f(x).
2. ב. מצאו את נקודת הקיצון השנייה של f וקבעו את סוגה.

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

דף תשובות

חקירת פונקציית פולינום · כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: נגזרת פולינום

א.
f'(x) = 14x³ − 2
ב.
כשגוזרים xⁿ המעריך יורד ב־1 ((xⁿ)′ = nx^{n − 1}). הנגזרת הנכונה: f'(x) = 6x⁴ + 4x³

שאלה 2: ערך הנגזרת

א.
(−4;−74), (−2;−62)
ב.
קודם גוזרים ורק אחר כך מציבים: f'(x) = 3x² + 5, ולכן f'(1) = 8

שאלה 3: שיפוע משיק

א.
(4;−83)
ב.
(−4;41), (0;9)

שאלה 4: משוואת משיק לגרף הפונקציה

א.
נקודת ההשקה (1;3): y = −2x + 5
ב.
ב־(2;0): y = −6x + 12; ב־(8;0): y = 6x − 48

שאלה 5: משיק עם פרמטרים

א.
שיפוע −5 ⇒ a = 76
ב.
א. a = 1 ב. y = 16x − 19

שאלה 6: נגזרות פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי

א.
f'(x) = −20(3x² + 4)(x³ + 4x)⁴
ב.
y = 12x + 28

שאלה 7: נגזרת מכפלת שתי פונקציות

א.
y' = 4(x + 4)²(x + 1)
ב.
h′(2) = −5

שאלה 8: מציאת נקודות קיצון

א.
(−2;−24) מינימום, (0;−8) מקסימום, (2;−24) מינימום
ב.
(2;−49) לא קיצון, (5;−76) מינימום

שאלה 9: מציאת תחומי עלייה וירידה

א.
עלייה: x < 2 או x > 3; ירידה: 2 < x < 3
ב.
הוכחה (y' = 3x² + 5 > 0)
1. y' = 3x² + 5
2. x² ≥ 0, ולכן y' ≥ 5 לכל x
3. y' חיובית תמיד — הפונקציה עולה לכל x
; עלייה: כל x; ירידה: אין

שאלה 10: חקירה מלאה

א.
א. 1. תחום הגדרה: כל x
2. חיתוך עם הצירים: (−√17;0), (−1;0), (1;0), (√17;0), (0;−17)
3. קיצון: (−3;64) מקסימום, (0;−17) מינימום, (3;64) מקסימום
4. עלייה: x < −3 או 0 < x < 3; ירידה: −3 < x < 0 או x > 3
5. סקיצה:

ב. (−3;−65) מינימום, (0;16) מקסימום, (3;−65) מינימום
ג. 4 פתרונות (g(x) = 0 בדיוק כאשר f(x) = −1)
ב.
א. 1. תחום הגדרה: כל x
2. חיתוך עם הצירים: (−1;0), (2;0), (0;−2)
3. קיצון: (−1;0) מקסימום, (1;−4) מינימום
4. עלייה: x < −1 או x > 1; ירידה: −1 < x < 1
5. ההשקה: הוכחה (f(−1) = 0, f'(−1) = 0)
1. f(−1) = 0 — הנקודה על ציר x
2. f'(−1) = 0 — שיפוע המשיק 0, ולכן המשיק הוא ציר x
6. סקיצה:

ב. k = −4 או k = 0
ג. −4 < k < 0

שאלה 11: נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן נקודות קיצון

א.
y' = 2(x − 3)²(x − 4); (3;−1052) לא קיצון, (4;−1583) מינימום
ב.
א. x = −2 לא קיצון, x = 1 מינימום ב. עלייה: x > 1; ירידה: x < 1

שאלה 12: חקירה עם פרמטרים

א.
a = 0, b = −27; (−3;51) מקסימום, (3;−57) מינימום
ב.
לא: מ־y'(1) = 0 מקבלים m = −3, אבל אז y' = 3(x − 1)² ≥ 0 — הנגזרת לא מחליפה סימן: אין m כזה

שאלה 13: חקירה — הבעה באמצעות פרמטרים

א.
(4a;−32a³) מקסימום, (0;0) מינימום
ב.
(−2a;4a³) מקסימום, (0;0) מינימום; עלייה: x < −2a או x > 0; ירידה: −2a < x < 0

שאלה 14: חקירת פונקציה מורכבת

א.
(−4;0) מינימום, (−2;16) מקסימום, (0;0) מינימום
ב.
(−1;0) לא קיצון, (0;−1) מינימום, (1;0) לא קיצון

שאלה 15: חקירת פונקציית מכפלה של שתי פונקציות

א.
א. 1. תחום הגדרה: כל x
2. חיתוך עם הצירים: (−1;0), (4;0), (0;16)
3. קיצון: (2;108) מקסימום, (4;0) מינימום, (−1;0) לא קיצון
4. עלייה: x < 2 או x > 4; ירידה: 2 < x < 4
5. סקיצה:

ב. k = 0 או k = 108
ג. 0 < k < 108
ב.
(−2;−27) מינימום, (1;0) לא קיצון

שאלה 16: פונקציה זוגית ואי־זוגית

א.
זוגית: f(x) = x² + 16 — f(−x) = x² + 16 = f(x)
ב.
שיקוף בציר y: עבור x < 0 y = −2x² − 12x; (−3;18) מקסימום; סקיצה:

שאלה 17: הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת שלה

א.
גרף 3 (f′ מתאפסת ב־x = −2 בלי החלפת סימן, ומחליפה סימן מ־− ל־+ רק ב־x = 3)
ב.
א. עלייה: x > 4; ירידה: x < 4 ב. y = −10x + 3
ג. סקיצה:

שאלה 18: בעיות קיצון מספריות

א.
3 ו־6; 108
ב.
103, 203, 5; המכפלה 10009

שאלה 19: בעיות קיצון גיאומטריות

א.
א. 4x² − 52x + 288 ב. x = 132 ס״מ, שטח 119 סמ״ר (התחום 0 < x ≤ 8)
ב.
א. DE = 4x3, 12 − x ב. x = 6 ס״מ, DE = 8 ס״מ; השטח 48 סמ״ר (משפט תאלס המורחב: DEBC = xAK)

שאלה 20: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים

א.
רוחב 4, גובה 8; שטח 32 (A(2;8), B(−2;8))
ב.
(−3;75), שיפוע −34; y = −34x − 27

שאלה 21: פונקציה קדומה לפולינום

א.
F(x) = −x⁵5 + x⁴4 + 3x² + c
ב.
F(x) = −x⁴5 − x³5 − 7x5 + c

שאלה 22: פונקציה קדומה שעוברת בנקודה

א.
f(x) = −x³3 + 2x² − x + 103
ב.
א. f(x) = −x³ + 3x² + 16x − 48 ב. (−4;0), (3;0), (4;0)

שאלה 23: פונקציה קדומה ונקודות קיצון

א.
א. f(x) = x³ − 12x² + 45x + 6 ב. (5;56) מינימום
ב.
א. f(x) = x³3 + x² − 4 ב. עלייה: x < −2 או x > 0; ירידה: −2 < x < 0

שאלה 24: פונקציה קדומה ומשיק

א.
א. f(x) = 2x³ − 2x² + 3x + 1 ב. y = 69x + 127
ב.
f(x) = −x³3 + x²2 + 5x − 553

שאלה 25: פונקציה קדומה עם פרמטרים

א.
א. a = 4, b = −4 ב. f(x) = 2x² − 4x − 7
ב.
א. a = −3 ב. f(x) = −x³ − x² − 11

שאלה 26: מגרף הנגזרת לפונקציה הקדומה

א.
א. עלייה: x < 1 או x > 3; ירידה: 1 < x < 3 ב. x = 1 מקסימום, x = 3 מינימום
ב.
א. לא (f′ לא מחליפה סימן ב־x = −1) ב. עלייה: כל x; ירידה: אין

שאלה 27: מציאת פונקציה מהנגזרת השנייה

א.
f'(x) = 9x² + 2x − 2, f(x) = 3x³ + x² − 2x − 2
ב.
א. f(x) = −x³ + 6x² − 9x − 8 ב. (3;−8) מקסימום

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

הדף המלא מחכה לכם

כניסה בחינם עם Google פותחת את כל התרגילים ואת דף התשובות.

המשך עם Googleבלי סיסמה ובלי כרטיס אשראי. אחרי הכניסה חוזרים לכאן.

צרו דף חדש בנושא

שאלות נפוצות

האם הדף חינמי?

כן. כניסה בחינם עם Google פותחת את הדף המלא ואת דף התשובות, ואפשר ליצור במחולל דפים חדשים.

יש דף תשובות?

כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.

האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?

כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 5 יח״ל.

אפשר להכין מבחן או בוחן בנושא?

כן. במחולל בוחרים את סוגי התרגילים של חקירת פונקציית פולינום ואת הרמה, ו„א׳ + ב׳” נותן שתי גרסאות מקבילות של המבחן (כדי שלא יעתיקו), כל אחת עם דף תשובות.

אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?

כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.