פונקציות שורש: דף עבודה ותרגילים לכיתה י׳ 5 יח״ל

12 סוגי תרגילים בנושא פונקציות שורש, מהקל לקשה: תחום הגדרה פונקציות שורש, משוואות עם שורשים, נגזרת ועוד. עם דף תשובות בדוק · מוכן להדפסה או PDF · התחלה בחינם. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.

צרו דף חדש בנושא

מה יש בדף

תחום הגדרה פונקציות שורש: שורש של לינארי, שורש במכנה, שורש של ריבועי, סכום שורשים, פונקציות זהות?, ממעלה 3–4, מנה עם שורש, רשמו פונקציה
משוואות עם שורשים: שורש = מספר, אין פתרון, שורש של ריבועי, שורש = לינארי (פתרון זר), הצבה t = √x, שבר עם שורש, שני שורשים, שלושה שורשים, מצאו את הטעות / נכון או לא נכון
נגזרת: k√x וצירופים, k/√x, ערך הנגזרת, שורש של לינארי, שורש של פולינום, מצאו את הטעות, 1/√u, צירופים, הראו ש… / x מנגזרת נתונה
משיק לפונקציה (בלי ועם פרמטר): שיפוע, משוואת משיק, משיק בחיתוך עם ציר, שיפוע נתון / מקביל, פרמטר משיפוע, משולש עם הצירים, ישר עם פרמטר משיק, שני פרמטרים, הבעה באמצעות t / נקודה חיצונית
נגזרת מכפלה ושורש: xⁿ√x, (ax + b)√x, ערך הנגזרת, x√(ax + b), xⁿ√(…), מצאו את הטעות, מכפלה של שני ביטויים, y′ = 0, משיק / הראו ש…
נקודות קיצון פנימיות (בלי ועם פרמטר): √(ריבועי), ax + b√x, √(c − x²), צירוף עם שורש, √(ממעלה 3), פרמטר אחד, שני פרמטרים, הבעה באמצעות פרמטר, הראו / נמקו
תחומי עלייה וירידה: ax + b√x, √(ריבועי), תחום חסום, שני חלקים, x ± k√(…), תחום + קיצון + עלייה וירידה, מכפלה, פרמטר, הוכחה / נכון או לא נכון
חקירה מלאה — ללא פרמטרים: a√x − bx, √(−ריבועי), x − k√(x + a), (x − a)√x, x + k√(c − x), √(ריבועי) בשני חלקים, מכפלה עם x² / (x + a), √(ממעלה 3), c/x + k√x
חקירה מלאה — עם פרמטרים (כולל מציאת פרמטר): פרמטר מנקודת קיצון / מחיתוך / משיפוע, ואז חקירה; בבינוני ובקשה גם סעיפי חשיבה (y = k, פונקציה קשורה, f ו־f′, חסמים, זוגיות)
בעיות קיצון מספריות: מספר ושורשו, סכום קבוע ← סכום שורשים, סכום משוקלל, x + k√(c − x), מספר ועוד k חלקי שורשו, סכום ריבועים ← מכפלה או סכום משוקלל, x√(c − x), סכום שני שורשים, מנה √x/(x + c), פרמטר, תחום סגור והוכחה
בעיות קיצון גיאומטריות: מלבן עם אלכסון נתון (מסך, קורה מבול עץ, ערוגה), משולש עם שוקיים או יתר נתונים (אוהל, גג, מדף), מלבן בחצי עיגול (חלון קשת, מנהרה), מעוין עם צלע נתונה, כבל או צינור בשני מחירים למטר, משאבה ושני בתים, תיבה עם אלכסון נתון, דלתון, הגובה ליתר במשולש ישר־זווית (מפרש, דגלון, גג), טרפז שווה־שוקיים וקטע האמצעים (סוללה, אהיל, שוקת), קטע במשולש, תחום סגור
בעיות קיצון גרפיות: מלבן או משולש מתחת לגרף שורש (עם הצירים, עם ישר x = c, עם נקודה קבועה), קטע אנכי בין גרף לישר, סכום שיעורים, מלבן בחצי עיגול y = √(R² − x²), משיק עם t, נקודה קרובה ביותר, מלבן בין שני גרפים, טרפז מתחת לגרף, נקודה ברביע השני או הרביעי, פרמטר מהמרחק, תחום סגור

דף לדוגמה (רמה בינונית)

שם: כיתה: תאריך:

פונקציות שורש — דף עבודה

כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: תחום הגדרה של פונקציות שורש

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציות וענו על השאלות.

א.
y = √−x² + 9x − 14
ב.
f(x) = √x + 4 + √2x − 2

שאלה 2: משוואות עם שורשים

פתרו את המשוואות (בדקו את הפתרונות) וענו על השאלות.

א.
x + √x + 7 = 13
ב.
2x√x = 16

שאלה 3: נגזרת של פונקציות שורש

גזרו את הפונקציות וענו על השאלות.

א.
f(x) = √4x − 9
ב.
f(x) = √x³ + 2x² + x + 2

שאלה 4: משיק לגרף פונקציית שורש

ענו על השאלות.

א.
מצאו את הנקודה על גרף y = 9√x שבה שיפוע המשיק הוא 914, ואת משוואת המשיק בה
ב.
y = √x + a. שיפוע המשיק בנקודה x = 2 הוא 14.
1. א. מצאו את a.
2. ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה זו

שאלה 5: נגזרת של מכפלה עם שורש

גזרו את הפונקציות (רשמו את הנגזרת כשבר אחד) וענו על השאלות.

א.
y = 2x√−x − 3
ב.
y = x√16 − x²

שאלה 6: נקודות קיצון פנימיות

מצאו את נקודות הקיצון הפנימיות (בתוך תחום ההגדרה) וקבעו את סוגן; ענו על השאלות.

א.
f(x) = x − 6√x + 5
ב.
f(x) = √x³ + 6x² + 49

שאלה 7: תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות וענו על השאלות.

א.
f(x) = √x² − 11x + 30
ב.
y = x − 4√x − 6

שאלה 8: חקירה מלאה של פונקציית שורש

חקרו את הפונקציות לפי הסעיפים.

א.
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 3)√x.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
ב.
נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 6√4 − x.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה 9: חקירה מלאה עם פרמטרים

ענו על הסעיפים.

א.
נתונה הפונקציה f(x) = a√x − x, ולה נקודת קיצון ב־x = 9.
1. א. מצאו את a.
2. ב. הציבו את a שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
3. ג. מצאו את התחומים שבהם f(x) > 0 ואת התחומים שבהם f(x) < 0
4. ד. לפונקציה g מתקיים g′(x) = f(x). האם g עולה או יורדת ב־x = 6? נמקו
ב.
נתונה הפונקציה f(x) = 2√ax − x, כאשר a > 0 הוא פרמטר. בכל הסעיפים הביעו את התשובות באמצעות a.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
2. ב. מצאו את התחומים שבהם f(x) > 0 ואת התחומים שבהם f(x) < 0

שאלה 10: בעיות קיצון מספריות

סמנו משתנה, הביעו את הגודל שמחפשים כפונקציה שלו, גזרו, ובדקו לפי סימן הנגזרת שהנקודה היא אכן מינימום / מקסימום (ובתחום סגור — גם את הקצוות).

א.
שני מספרים חיוביים נבחרים כך שסכום ריבועיהם שווה ל־98. נסמן ב־x את המספר הראשון.
1. א. הביעו באמצעות x את המספר השני.
2. ב. מה צריכים להיות המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? מהי המכפלה?
ב.
מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי √x² + 49 + √(12 − x)² + 4? באיזה x הוא מתקבל?

שאלה 11: בעיות קיצון גיאומטריות

הביעו את הגודל המבוקש כפונקציה של משתנה אחד (בעזרת משפט פיתגורס), גזרו ובדקו את סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

א.
בית A נמצא במרחק AC = 60 מטר מכביש ישר, ו־C רגל האנך מ־A לכביש. מהבית מושכים כבל חשמל אל עמוד B שעל הכביש (CB = 70 מטר): הכבל עובר בקו ישר בשטח עד נקודה P על הכביש, ומשם לאורך הכביש עד B. מטר כבל בקטע AP עולה 20 ₪, ומטר כבל בקטע PB עולה 12 ₪. נסמן CP = x.
1. א. הביעו באמצעות x את עלות הכבל.
2. ב. מה צריך להיות x כדי שהעלות תהיה הנמוכה ביותר? מהי העלות?
ב.
מצאו את AD ואת הגובה CD שעבורם שטח חזית הגג מקסימלי, ואת השטח. החזית של גג עליית גג היא משולש ישר־זווית ABC (∡C = 90°): AB היא קורת התקרה, ו־AB = 12 מטר. מהשיא C יורד אל הקורה עמוד CD הניצב לה. נסמן AD = x.

שאלה 12: בעיות קיצון גרפיות

הביעו את הגודל המבוקש כפונקציה של משתנה אחד, גזרו ובדקו את סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

א.
מבין הנקודות על גרף הפונקציה y = 6√x − 3, מצאו את הנקודה A הקרובה ביותר לנקודה B(37;0), ואת המרחק AB
ב.
נתונה הפונקציה y = √72 − x², ו־A נקודה על הגרף שלה ברביע הראשון. מ־A מורידים אנכים לצירים: B על ציר x ו־C על ציר y, ונוצר המלבן OBAC (O — ראשית הצירים). מה צריכים להיות שיעורי A כדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי? מהו ההיקף?

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

דף תשובות

פונקציות שורש · כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: תחום הגדרה של פונקציות שורש

א.
2 ≤ x ≤ 7
ב.
x ≥ 1

שאלה 2: משוואות עם שורשים

א.
x = 9 (x = 18 פתרון זר)
ב.
x = 4

שאלה 3: נגזרת של פונקציות שורש

א.
f'(x) = 2√4x − 9
ב.
f'(x) = 3x² + 4x + 12√x³ + 2x² + x + 2

שאלה 4: משיק לגרף פונקציית שורש

א.
(49;63); y = 9x14 + 632
ב.
א. a = 2 ב. y = x4 + 32

שאלה 5: נגזרת של מכפלה עם שורש

א.
y' = −3x + 6√−x − 3
ב.
y' = 16 − 2x²√16 − x²

שאלה 6: נקודות קיצון פנימיות

א.
(4;−14) מינימום
ב.
(−4;9) מקסימום, (0;7) מינימום

שאלה 7: תחומי עלייה וירידה

א.
עלייה: x > 6; ירידה: x < 5
ב.
עלייה: x > 10; ירידה: 6 < x < 10

שאלה 8: חקירה מלאה של פונקציית שורש

א.
א. 1. x ≥ 0
2. (0;0), (3;0)
3. (0;0) מקסימום בקצה, (1;−2) מינימום
4. עלייה: x > 1; ירידה: 0 < x < 1
5. סקיצה:
ב.
א. 1. x ≤ 4
2. (−12;0), (0;12)
3. (74;252) מקסימום, (4;8) מינימום בקצה
4. עלייה: x < 74; ירידה: 74 < x < 4
5. סקיצה:

שאלה 9: חקירה מלאה עם פרמטרים

א.
א. a = 6
ב. 1. x ≥ 0
2. (0;0), (36;0)
3. (0;0) מינימום בקצה, (9;9) מקסימום
4. עלייה: 0 < x < 9; ירידה: x > 9
5. סקיצה:

ג. f(x) > 0: 0 < x < 36; f(x) < 0: x > 36
ד. עולה: g′(6) = f(6) > 0
ב.
א. 1. x ≥ 0
2. (0;0), (4a;0)
3. (0;0) מינימום בקצה, (a;a) מקסימום
4. עלייה: 0 < x < a; ירידה: x > a
5. סקיצה:

ב. f(x) > 0: 0 < x < 4a; f(x) < 0: x > 4a

שאלה 10: בעיות קיצון מספריות

א.
א. √98 − x² ב. 7 ו־7; המכפלה 49
ב.
x = 283; הערך 15

שאלה 11: בעיות קיצון גיאומטריות

א.
א. 20√x² + 3600 + 12(70 − x) ב. CP = 45 מטר; העלות 1800 ₪
ב.
AD = 6 מטר, CD = 6 מטר; שטח 36 מ״ר

שאלה 12: בעיות קיצון גרפיות

א.
A(19;24); AB = 30
ב.
A(6;6); היקף 24

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

הדף המלא מחכה לכם

כניסה בחינם עם Google פותחת את כל התרגילים ואת דף התשובות.

המשך עם Googleבלי סיסמה ובלי כרטיס אשראי. אחרי הכניסה חוזרים לכאן.

צרו דף חדש בנושא

שאלות נפוצות

האם הדף חינמי?

כן. כניסה בחינם עם Google פותחת את הדף המלא ואת דף התשובות, ואפשר ליצור במחולל דפים חדשים.

יש דף תשובות?

כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.

האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?

כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 5 יח״ל.

אפשר להכין מבחן או בוחן בנושא?

כן. במחולל בוחרים את סוגי התרגילים של פונקציות שורש ואת הרמה, ו„א׳ + ב׳” נותן שתי גרסאות מקבילות של המבחן (כדי שלא יעתיקו), כל אחת עם דף תשובות.

אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?

כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.