מחולל תרגילי מתמטיקהגאומטריה: דף עבודה ותרגילים לכיתה י׳ 5 יח״ל
29 סוגי תרגילים בנושא גאומטריה, מהקל לקשה: יחסי שטחים: חישובים, יחסי שטחים: הוכחה וחישוב, משפט חוצה הזווית ועוד. עם דף תשובות בדוק · מוכן להדפסה או PDF · התחלה בחינם. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.
מה יש בדף
- יחסי שטחים: חישובים: שטחים, צלעות ויחסים ממשולשים דומים: מקביל לצלע, פרפר, זווית משותפת, צ.ז.צ., גבהים, טרפז, מלבן וריבוע חסומים
- יחסי שטחים: הוכחה וחישוב: הוכחת דמיון ואחריה שטח או צלע; מכפלות של קטעים; שברי שטח במשולש ובמקבילית
- משפט חוצה הזווית: יחס הקטעים שחוצה זווית מקצה על הצלע שמולה: אורכים, תיכון, גובה, שטחים, מקבילים והוכחות
- המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית: הוכחה שקטע הוא חוצה זווית מיחס הקטעים: אורכים, פיתגורס, שני משולשים, תאלס ומקבילית
- נקודת מפגש התיכונים: היחס 2:1 על תיכון, התיכון השלישי, תיכונים מאונכים, משולש ישר זווית ושווה שוקיים, מקבילית ומעוין עם נקודת מפגש התיכונים
- מעגל: הגדרות בסיסיות: רדיוסים שווים וקוטר: זוויות במשולשי רדיוסים, חפיפה, מקבילים, נקודה על המשך מיתר
- זווית מרכזית, קשתות ומיתרים: קשתות וזוויות מרכזיות, מיתרים שווים, מיתרים מקבילים, דלתון חסום
- האנך ממרכז המעגל למיתר: רדיוס, מיתר ומרחק; אמצע מיתר; מלבן ומעוין; משולש חסום וקטע אמצעים; קוטר מאונך למיתר
- מיתרים שווים ומרחקם מהמרכז: מיתרים שווים במרחקים שווים, מיתרים נחתכים, חותכים מנקודה חיצונית, משולש שווה צלעות חסום
- זוויות היקפיות: זווית היקפית ומרכזית, היקפיות על אותו מיתר, קשתות ומיתרים שווים, זווית על קוטר והוכחה שמיתר הוא קוטר; מלבן, גבהים וחוצי זוויות במשולש חסום
- פרופורציות במעגל: מיתרים נחתכים, שני חותכים, משיק וחותך: אורכים, רדיוס, שני מעגלים, תיכון וחוצה זווית שנמשכים עד המעגל
- מעגל, תרגילים מסכמים: כל פרק המעגל: מיתרים וקטרים, זוויות היקפיות, משיקים, מרובע חסום, שני מעגלים, דמיון, מכפלות ושטחים במעגל
- מעגל חוסם משולש: מרכז המעגל החוסם: רדיוסים שווים, זווית מרכזית והיקפית, אנכים אמצעיים, אמצע היתר במשולש ישר זווית
- מעגל חסום במשולש: מרכז המעגל החסום: חוצי זוויות, קטעי משיקים, היקף, משולש ישר זווית, אמצע הקשת
- קטע אמצעים במשולש: אורך וזווית, ניצבות, מקבילית, משולש שווה שוקיים; קטע אמצעים בתוך קטע אמצעים, תיכון, מרובע אמצעי הצלעות, דלתון ומלבן; אלכסונים מאונכים או שווים, דלתון, משולש ישר זווית
- הוכחת קטע אמצעים: ישר מקביל דרך אמצע צלע, זוויות מתאימות, מקבילית, קטע מקביל ושווה למחצית; שני ישרים מקבילים בזה אחר זה, תיכון, משולש ישר זווית ושווה שוקיים; בניית עזר, זווית 30°, חוצה זווית, מרובע
- קטע אמצעים בטרפז: אורך קטע האמצעים וזוויות, הבסיסים מהפרש, טרפז שווה שוקיים, ישר מקביל דרך אמצע שוק; האלכסונים חוצים את קטע האמצעים, טרפז בתוך טרפז, מקבילית; חוצה זווית, שליש השוק, בניית עזר, משפט 67
- פרופורציה ודמיון: תרגילים מסכמים: דמיון משולשים עם תאלס, חוצה זווית, תיכונים, גבהים ומרובעים; יחסי שטחים; הוכחות מדורגות ותשובה בפרמטר
- מרובע חסום במעגל: זוויות במרובע חסום, האם מרובע בר־חסימה, מקבילית וטרפז חסומים, מרובעים מגבהים, משיק ומיתרים
- מרובע חוסם מעגל: צלעות וקטעי משיקים, טרפז ודלתון חוסמים, זוויות במרכז המעגל ובמרובע נקודות ההשקה
- דמיון משולשים וקטעים מיוחדים: תרגילים מסכמים: משפטי הדמיון, יחסי צלעות, שטחים וגבהים, משפט חוצה הזווית, דמיון בטרפז ובמקבילית
- משיק ורדיוס: המשיק מאונך לרדיוס, הוכחה שישר הוא משיק, משיקים בקצות קוטר; זוויות, אורכים והוכחות
- שני משיקים: שני משיקים מנקודה, משיק שלישי, משולש ומרובע החוסמים מעגל; זוויות, אורכים והוכחות
- משיק ומיתר: זווית בין משיק למיתר: משולש חסום עם משיק בקדקוד, משיק ומיתר מקביל; זוויות והוכחות
- משפט תאלס: חישובים: אורכי קטעים ממקבילים החותכים שוקי זווית, משולש ופרפר; טרפז ואלכסונים, מניפה, מפגש התיכונים; ריבוע ומעוין חסומים
- משפט תאלס: הוכחות: הוכחת יחסים ומכפלות של קטעים, תיכון ומקביל, טרפז ואלכסונים, מקבילית, מפגש התיכונים; הוכחות מדורגות
- המשפט ההפוך למשפט תאלס: הוכחת מקבילות מקטעים פרופורציוניים: משולש, פרפר, זווית; מניפה, טרפז, משולש שווה שוקיים; מרובע, מפגש התיכונים, תיכון
- שני מעגלים בעלי מרכז משותף: מיתר של הגדול שחותך או משיק לקטן, משיקים לקטן, מיתרים משיקים נחתכים או מקבילים, משיקים בקצות מיתר של הקטן, מכפלת קטעים בדמיון, קוטר נסתר
- מעגלים נחתכים: המיתר המשותף וקו המרכזים, קטרים מנקודת חיתוך, מרכז על המעגל השני, משיק וחותך מנקודה על המשך המיתר המשותף, משיק שפוגש את קו המרכזים, ישר דרך נקודת חיתוך ודמיון למשולש המרכזים, אנך למיתר המשותף וקטרים נסתרים
- מעגלים משיקים: נקודת ההשקה על קו המרכזים, מרחק המרכזים, המשיק המשותף, ישרים דרך נקודת ההשקה, משיק משותף חיצוני וקטרים, מעגל שעובר במרכז של השני, מיתרים שווים מנקודת ההשקה
דף לדוגמה (רמה בינונית)
שם: כיתה: תאריך:
גאומטריה — דף עבודה
שאלה 1: יחסי שטחים: חישובים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודות H ו־K על שוק אחת של זווית שקודקודה M, והנקודות J ו־L על השוק השנייה. נתון: MH = 2 ס״מ, HK = 7 ס״מ, MJ = 3 ס״מ, JL = 3 ס״מ, S(HKLJ) = 16 סמ״ר.חשבו את שטח המשולש MHJ.
- ב.במשולש CDE הנקודות F ו־H על CD והנקודות G ו־J על CE, FG ∥ DE, HJ ∥ DE. נתון: CF = 2 ס״מ, FH = 2 ס״מ, HD = 2 ס״מ, S△CFG = 1 סמ״ר.א. חשבו את שטח הטרפז FHJG.ב. חשבו את שטח הטרפז HDEJ.
שאלה 2: יחסי שטחים: הוכחה וחישוב
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש BCD הנקודה E על הצלע BD, ∡BCE = ∡BDC.א. הוכיחו: △BCE ∼ △BDC.ב. הוכיחו: BC² = BE · BD.ג. נתון: BE = 4 ס״מ, ED = 5 ס״מ, S△BCE = 8 סמ״ר. חשבו את שטח המשולש CED.
- ב.במשולש HJK הנקודה L על HJ והנקודה M על HK, ∡HLM = ∡HKJ.א. הוכיחו: △HLM ∼ △HKJ.ב. הוכיחו: HL · HJ = HM · HK.ג. נתון: HL = 3 ס״מ, HM = 4 ס״מ, MK = 2 ס״מ. חשבו את אורך הקטע LJ.
שאלה 3: משפט חוצה הזווית
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש STU ST = SU. SV הגובה לבסיס TU, ו־TW חוצה את ∡STU (הנקודה W על SU). SV ו־TW נחתכים בנקודה Z. נתון: ST = 5 ס״מ ו־TU = 6 ס״מ.א. חשבו את אורך הקטע ZV.ב. חשבו את אורך הקטע SW.
- ב.במשולש TUV הקטע TW חוצה את ∡UTV (הנקודה W על UV). נתון: TU : TV = 4 : 7, ושטח המשולש TUV הוא 77 סמ״ר (S△TUV = 77).חשבו את שטח המשולש TUW.
שאלה 4: המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש NPR הנקודות S ו־T על הצלע PR, ו־T היא אמצע הצלע. נתון: NP = 30 ס״מ, NR = 18 ס״מ, PR = 32 ס״מ ו־PS = 20 ס״מ.א. הוכיחו: NS חוצה את ∡PNR, כלומר ∡PNS = ∡SNR.ב. חשבו את אורך הקטע ST.
- ב.המשולשים HJK ו־LJK נמצאים משני צדי הצלע המשותפת JK. הנקודה M על JK. נתון: HJ = 12 ס״מ, HK = 18 ס״מ, LJ = 16 ס״מ, LK = 24 ס״מ, JM = 8 ס״מ ו־MK = 12 ס״מ.א. הוכיחו: ∡JHM = ∡MHK.ב. הוכיחו: ∡JLM = ∡MLK.
שאלה 5: נקודת מפגש התיכונים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש GHJ נתון GH = GJ. התיכונים לשוקיים HK ו־JL נפגשים בנקודה M, ונתון ∡HMJ = 90°, HJ = 8 ס״מ. הנקודה N היא אמצע HJ.א. חשבו את MN.ב. חשבו את אורך התיכון לבסיס GN.ג. הוכיחו: GN ⟂ HJ.
- ב.במשולש NPR הנקודה S היא אמצע הצלע PR. על התיכון NS נמצאת הנקודה T כך ש־NT = 2TS. המשך הקטע PT חותך את הצלע NR בנקודה U.א. הוכיחו: U אמצע NR.ב. נתון: PU ⟂ NR. הוכיחו: NP = PR.
שאלה 6: מעגל: הגדרות בסיסיות
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודות F, G ו־H נמצאות על מעגל שמרכזו O. נתון: OH ∥ FG.א. הוכיחו: ∡OFH = ∡HFG (הקטע FH חוצה את הזווית OFG).ב. נתון: ∡FOH = 136°. חשבו את ∡OFG.
- ב.KL קוטר במעגל שמרכזו O. הנקודות M ו־N נמצאות על המעגל באותו צד של הקוטר (M קרובה ל־K). נתון: MN ∥ KL.א. הוכיחו: KM = LN.ב. נתון: ∡KOM = 45°. חשבו את ∡MON.
שאלה 7: זווית מרכזית, קשתות ומיתרים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.L אמצע הקשת JK במעגל שמרכזו O, כלומר קשת JL = קשת LK. נתון: LM ⟂ OJ, LN ⟂ OK. (M על OJ, N על OK.)א. הוכיחו: LM = LN.ב. הוכיחו: JM = KN.
- ב.הנקודות L, M, N ו־P נמצאות על מעגל שמרכזו O, בסדר הזה. נתון: קשת LM = 62°, קשת MN = 98°, קשת NP = 62°. (כל קשת היא זו שאינה מכילה את שאר הנקודות.)א. חשבו את ∡LOP.ב. חשבו את ∡LMN.ג. חשבו את ∡MLP.ד. הוכיחו: MN ∥ LP.
שאלה 8: האנך ממרכז המעגל למיתר
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: OD ⟂ AB, OE ⟂ AC. (D על AB, E על AC.)א. הוכיחו: DE ∥ BC.ב. נתון: BC = 16 ס״מ. חשבו את DE.
- ב.FG מיתר במעגל שמרכזו O, ו־∡FOG = 120°. OJ ⟂ FG (J על המיתר), והמשך OJ חותך את המעגל בנקודה H.א. הוכיחו: OJ = ½OF (המרחק של המיתר מהמרכז שווה למחצית הרדיוס).ב. הוכיחו: המרובע OFHG מעוין.
שאלה 9: מיתרים שווים ומרחקם מהמרכז
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.AB ו־CD מיתרים שווים במעגל שמרכזו O, הנחתכים בנקודה E. נתון: OF ⟂ AB, OG ⟂ CD. (F על AB, G על CD.)א. הוכיחו: ∡OEF = ∡OEG (הקטע OE חוצה את הזווית FEG).ב. הוכיחו: EA = EC.
- ב.המשולש EFG חסום במעגל שמרכזו O. נתון: OH ⟂ EF, OJ ⟂ EG, OH = OJ. (H על EF, J על EG.)א. הוכיחו: EF = EG.ב. הוכיחו: HJ ∥ FG.ג. נתון: ∡EFG = 45°. חשבו את ∡FEG.
שאלה 10: זוויות היקפיות
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.JK ו־LM מיתרים מקבילים במעגל: JK ∥ LM. המרובע JKML קמור.א. הוכיחו: JL = KM.ב. הוכיחו: ∡JLM = ∡KML.
- ב.במעגל שמרכזו O, ST קוטר, והקוטר חותך את המיתר UV באמצעו, בנקודה W (W בין S ל־O).א. הוכיחו: ∡SUV = ∡STU.ב. נתון: SW = 36 ס״מ, WT = 64 ס״מ. חשבו את אורך המיתר UV.ג. חשבו את אורך המיתר SU.
שאלה 11: פרופורציות במעגל
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.RS קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר TU מאונך לקוטר וחותך אותו בנקודה V. נתון: TU = 6, RV = 1 (ס״מ).א. חשבו את VS.ב. חשבו את רדיוס המעגל.ג. חשבו את המרחק OV.
- ב.המשולש JFH חסום במעגל. חוצה הזווית FJH חותך את הצלע FH בנקודה G ואת המעגל בנקודה E. נתון: JF = 16, JH = 12, FH = 14, GE = 4 (ס״מ).א. חשבו את FG ואת GH.ב. חשבו את אורך הקטע JG.
שאלה 12: מעגל, תרגילים מסכמים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המיתרים EF ו־GH נחתכים בנקודה J. נתון: ∡EHG + ∡FGH = 90°.א. הוכיחו: EF ⟂ GH.ב. נתון: EJ = 3 ס״מ, JF = 8 ס״מ, GJ = 4 ס״מ. חשבו את אורך הקטע JH.ג. חשבו את אורך המיתר EG.
- ב.במשולש EFG נתון EF = EG. המעגל ש־EF קוטר שלו חותך את FG בנקודה H ואת EG בנקודה J.א. הוכיחו: H אמצע FG.ב. הוכיחו: HJ = HF.ג. נתון: ∡FEG = 56°. חשבו את ∡JHG.
שאלה 13: מעגל חוסם משולש
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודה U היא מרכז המעגל החוסם את המשולש RTS. נתון: ∡SUT = 136°, ∡SUR = 120°.א. חשבו את זוויות המשולש.ב. חשבו את ∡UST.
- ב.במשולש RPL נתון RP = RL. RM הוא הגובה לבסיס PL. הנקודה N על RM מקיימת NR = NP.א. הוכיחו: N מרכז המעגל החוסם את המשולש RPL.ב. הוכיחו: ∡PNM = ∡PRL.
שאלה 14: מעגל חסום במשולש
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודה P היא מרכז המעגל החסום במשולש SNR. נתון: ∡NPR = 120°, ∡SPR = 125°.חשבו את זוויות המשולש.
- ב.המעגל שמרכזו U חסום במשולש NTS ומשיק לצלעות TS, SN ו־NT בנקודות V, P ו־R בהתאמה. נתון: NT = 14 ס״מ, TS = 15 ס״מ, SN = 9 ס״מ.חשבו את אורכי הקטעים NR, TV ו־SP.
שאלה 15: קטע אמצעים במשולש
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש CDE הנקודות F ו־G הן אמצעי הצלעות CD ו־CE בהתאמה. הנקודות H ו־J הן אמצעי הקטעים CF ו־CG בהתאמה.א. הוכיחו: DE = 4HJ.ב. נתון: HJ = 5 ס״מ. חשבו את FG ואת DE.
- ב.במשולש ABC הזווית ∡ABC ישרה. הנקודות D, E ו־F הן אמצעי הצלעות AB, AC ו־BC בהתאמה.א. הוכיחו: המרובע DBFE הוא מלבן.ב. נתון: AB = 36 ס״מ, BC = 48 ס״מ. חשבו את אורך הקטע DF.
שאלה 16: קטע אמצעים בטרפז
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.FGHJ טרפז (FG ∥ JH). הנקודות K ו־L הן אמצעי השוקיים FJ ו־GH בהתאמה. הקטע KL חותך את האלכסון GJ בנקודה M.א. הוכיחו: M אמצע GJ.ב. נתון: KM = 2 ס״מ, ML = 5 ס״מ. חשבו את אורכי הבסיסים.ג. חשבו את אורך קטע האמצעים KL.
- ב.GHJK טרפז (GH ∥ KJ). הנקודות L ו־M הן אמצעי השוקיים GK ו־HJ בהתאמה. הנקודות N ו־P הן אמצעי הקטעים GL ו־HM בהתאמה.א. הוכיחו: המרובע GHML הוא טרפז.ב. הוכיחו: NP = ½(GH + LM).ג. נתון: GH = 10 ס״מ, KJ = 26 ס״מ. חשבו את LM ואת NP.
שאלה 17: פרופורציה ודמיון: תרגילים מסכמים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש GEM הגובה GN לצלע EM. נתון: EM = 28 ס״מ, GN = 21 ס״מ. הריבוע HFJL חסום במשולש: H על GE, F על GM, והקודקודים J ו־L על EM. הגובה GN חותך את HF בנקודה K.א. הוכיחו: △GHF ∼ △GEM.ב. חשבו את צלע הריבוע.ג. חשבו את שטח המשולש GHF.
- ב.GJEF ריבוע. D נקודה על הצלע JE. מהקודקוד F מורידים אנך FH לקטע GD.א. הוכיחו: △GJD ∼ △FHG.ב. נתון: GJ = 20 ס״מ, JD = 15 ס״מ. חשבו את GD, FH ו־GH.ג. חשבו את שטח המשולש GHF.
שאלה 18: מרובע חסום במעגל
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המרובע EFGH חסום במעגל, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה J. נתון: ∡EFH = 31°, ∡HFG = 44°, ∡EGF = 66°.א. חשבו את ∡EHG.ב. חשבו את ∡FEH.ג. חשבו את ∡EJF.
- ב.המרובע EFGH חסום במעגל. הישר JK משיק למעגל בנקודה E, ו־JK ∥ FH.א. הוכיחו: EF = EH.ב. הוכיחו: ∡FGE = ∡EGH (GE חוצה את ∡FGH).ג. נתון: ∡FGH = 52°. חשבו את ∡EHF.
שאלה 19: מרובע חוסם מעגל
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.בדלתון TUVW נתון: TU = TW, VU = VW, ∡TUV = 90°. O מרכז המעגל העובר דרך T, U ו־V.א. הוכיחו: TUVW בר־חסימה במעגל.ב. הוכיחו: TUVW חוסם מעגל.ג. נתון: TU = 10 ס״מ, UV = 24 ס״מ. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את הדלתון.
- ב.המרובע FGHJ חוסם מעגל שמרכזו O. נקודות ההשקה הן K, L, M ו־N, על הצלעות FG, GH, HJ ו־JF בהתאמה.א. הוכיחו: S(FGHJ) = OK · (FG + HJ).ב. נתון: FG = 15 ס״מ, HJ = 40 ס״מ, ושטח המרובע 660 סמ״ר. חשבו את רדיוס המעגל.
שאלה 20: דמיון משולשים וקטעים מיוחדים: תרגילים מסכמים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש חד־זווית HJG הקטע HK הוא הגובה לצלע JG והקטע JL הוא הגובה לצלע HG, כלומר HK ⟂ JG ו־JL ⟂ GH.א. הוכיחו: △GHK ∼ △GJL.ב. הוכיחו: GK · GJ = GL · GH.ג. נתון: GK = 12 ס״מ, GJ = 25 ס״מ, GL = 10 ס״מ. חשבו את אורך הצלע GH.
- ב.NPRS טרפז (NP ∥ SR). האלכסונים NR ו־PS נחתכים בנקודה T. נתון: NP = 12 ס״מ, SR = 20 ס״מ, NR = 24 ס״מ.א. הוכיחו: △NTP ∼ △RTS.ב. חשבו את אורכי הקטעים NT ו־TR.ג. חשבו את היחס בין שטח המשולש NTP לשטח המשולש RTS.
שאלה 21: משיק ורדיוס
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.L ו־M נקודות על מעגל שמרכזו Q, ∡LQM = 60°. N נקודה על המשך הרדיוס QM כך ש־MN = QM.א. הוכיחו: LM = QM.ב. הוכיחו: LN משיק למעגל שמרכזו Q.ג. חשבו את ∡QNL.
- ב.LM קוטר במעגל שמרכזו Q. המשיק למעגל בנקודה N חותך את המשך הקוטר מעבר ל־M בנקודה P, כך ש־MP = QM.א. הוכיחו: ∡NPQ = 30°.ב. הוכיחו: NM = MP.ג. הוכיחו: LN = NP.
שאלה 22: שני משיקים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.EF ו־EG משיקים למעגל שמרכזו Q בנקודות F ו־G. המשיק למעגל בנקודה H שעל הקשת הקטנה FG חותך את EF בנקודה J ואת EG בנקודה K. נתון: EF = 9 ס״מ, ∡FEG = 32°.א. חשבו את היקף המשולש EJK.ב. חשבו את ∡JQK.
- ב.DE ו־DF משיקים למעגל שמרכזו Q בנקודות E ו־F, ∡EDF = 60°. הקטע DQ חותך את המעגל בנקודה G.הוכיחו: המרובע EQFG הוא מעוין (EQFG מעוין).
שאלה 23: משיק ומיתר
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.LM ו־LN משיקים למעגל שמרכזו Q בנקודות M ו־N. P נקודה על הקשת הגדולה MN. נתון: ∡MPN = 52°.א. חשבו את ∡LMN.ב. חשבו את ∡MLN.ג. חשבו את ∡MQN.
- ב.המשולש CDE חסום במעגל שמרכזו O. CG משיק למעגל שמרכזו O בנקודה C. הישר העובר דרך E ומקביל ל־CG חותך את CD בנקודה F (EF ∥ CG).א. הוכיחו: △CFE ∼ △CED.ב. נתון: CF = 8 ס״מ, CD = 18 ס״מ. חשבו את CE.
שאלה 24: משפט תאלס: חישובים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש KLM הנקודה J על הצלע KL והנקודה H על הצלע KM, JH ∥ LM. הקטע JL ארוך מהקטע KJ ב־4 ס״מ. נתון: KH = 6 ס״מ, HM = 9 ס״מ.חשבו את אורכי הקטעים KJ ו־JL.
- ב.הקטעים UP ו־RT נחתכים בנקודה S, UR ∥ TP. ישר דרך S חותך את UR בנקודה V ואת TP בנקודה W. נתון: VS : SW = 3 : 4, UR = 18 ס״מ.חשבו את אורך הקטע TP.
שאלה 25: משפט תאלס: הוכחות
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש FEC הנקודה G על EC. ישר המקביל ל־EC חותך את FE בנקודה H, את FG בנקודה D ואת FC בנקודה B, ונתון HD = DB.א. הוכיחו: G אמצע EC (FG תיכון במשולש).ב. נתון: EC = 20 ס״מ, FH : HE = 3 : 2. חשבו את אורך הקטע HD.
- ב.URST טרפז (UR ∥ TS), האלכסונים נפגשים בנקודה P.א. הוכיחו: PU · PT = PR · PS.ב. ישר דרך P המקביל לבסיסים חותך את UT בנקודה V. הוכיחו: UV/VT = UR/TS.
שאלה 26: המשפט ההפוך למשפט תאלס
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.בציור: B על EC, D על EH ו־G על EF. נתון: BD ∥ CH, EG/GF = EB/BC.הוכיחו: GD ∥ FH.
- ב.TVRP טרפז (TV ∥ PR), האלכסונים נפגשים בנקודה S, והנקודה U על השוק TP. נתון: TV = 3 ס״מ, PR = 6 ס״מ, TU = 1 ס״מ, UP = 2 ס״מ.הוכיחו: US ∥ PR.
שאלה 27: שני מעגלים בעלי מרכז משותף
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.שני מעגלים שמרכזם המשותף Q. מהנקודה B שעל המעגל הגדול יוצא משיק למעגל הקטן, המשיק לו בנקודה C וחותך את המעגל הגדול בנקודה D. מ־D יוצא משיק נוסף למעגל הקטן, המשיק לו בנקודה E וחותך את המעגל הגדול בנקודה F. הישר DQ חותך את BF בנקודה G.א. הוכיחו: DQ ⟂ BF.ב. נתון: רדיוס המעגל הקטן 5 ס״מ, ורדיוס המעגל הגדול 13 ס״מ. חשבו את BD ואת היחס BF/BD.
- ב.שני מעגלים שמרכזם המשותף K, רדיוסיהם 13 ס״מ ו־5 ס״מ. המיתרים NP ו־RS של המעגל הגדול מאונכים זה לזה, משיקים למעגל הקטן בנקודות T ו־U ונחתכים בנקודה V (T בין N ל־V).א. הוכיחו: KTVU ריבוע.ב. חשבו את VN ואת VP.
שאלה 28: מעגלים נחתכים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המעגלים שמרכזיהם N ו־Q נחתכים בנקודות E ו־F. EG קוטר במעגל שמרכזו N, ו־EH קוטר במעגל שמרכזו Q.א. הוכיחו: F על הקטע GH (הנקודות G, F ו־H על ישר אחד).ב. הוכיחו: GH ∥ NQ ו־GH = 2NQ.ג. רדיוסי המעגלים 10 ס״מ ו־17 ס״מ, ו־EF = 16 ס״מ. חשבו את GH.
- ב.שני מעגלים שווים שמרכזיהם O ו־K נחתכים בנקודות U ו־V. OK חותך את UV בנקודה W.א. הוכיחו: OUKV מעוין.ב. הוכיחו: OK ⟂ UV.ג. רדיוס המעגלים 45 ס״מ, ו־OK = 54 ס״מ. חשבו את UV.
שאלה 29: מעגלים משיקים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המעגלים שמרכזיהם Q ו־N משיקים מבחוץ בנקודה F. GH משיק משותף שלהם (G על המעגל שמרכזו Q, H על המעגל שמרכזו N), והמשיק המשותף בנקודה F חותך את GH בנקודה J.א. הוכיחו: J אמצע GH.ב. הוכיחו: ∡GFH = 90°.ג. נתון: GH = 6 ס״מ. חשבו את FJ.
- ב.המעגלים שמרכזיהם M ו־K משיקים מבפנים בנקודה C (המעגל שמרכזו K בתוך המעגל שמרכזו M). המיתר DE של המעגל שמרכזו M משיק למעגל שמרכזו K בנקודה F. CD ו־CE חותכים את המעגל שמרכזו K בנקודות G ו־H.א. הוכיחו: GH ∥ DE.ב. הוכיחו: ∡DCF = ∡FCE (CF חוצה את ∡DCE).
דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il
דף תשובות
שאלה 1: יחסי שטחים: חישובים
- א.S△MHJ = 2 סמ״ר
טענה נימוק (1) MH = 2, HK = 7, MJ = 3, JL = 3 נתון (2) MK = 9, ML = 6 לפי (1): חישוב (3) MH/ML = MJ/MK לפי (2), (1): חישוב (4) ∡HMJ = ∡LMK זווית משותפת (5) △MHJ ∼ △MLK לפי (3), (4): משפט דמיון צלע זווית צלע (משפט 68) (6) MH/ML = 1/3 לפי (1), (2): חישוב (7) S△MHJ/S△MLK = 1/9 לפי (5), (6): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (8) S△MLK = S△MHJ + S(HKLJ) שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (9) S(HKLJ) = 16 נתון (10) S△MHJ = 2 לפי (7), (8), (9): חישוב - ב.א. S(FHJG) = 3 סמ״ר
ב. S(HDEJ) = 5 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) FG ∥ DE, HJ ∥ DE נתון (2) ∡CFG = ∡CDE לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו (משפט 6) (3) ∡CHJ = ∡CDE לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו (משפט 6) (4) ∡FCG = ∡HCJ = ∡DCE זווית משותפת (5) △CFG ∼ △CDE לפי (2), (4): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (6) △CHJ ∼ △CDE לפי (3), (4): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (7) CF = 2, FH = 2, HD = 2 נתון (8) CF/CD = 1/3 לפי (7): חישוב (9) CH/CD = 2/3 לפי (7): חישוב (10) S△CFG/S△CDE = 1/9 לפי (5), (8): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (11) S△CHJ/S△CDE = 4/9 לפי (6), (9): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (12) S△CFG = 1 נתון (13) S△CDE = 9, S△CHJ = 4 לפי (10), (11), (12): חישוב (14) S(FHJG) = S△CHJ − S△CFG שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (15) S(FHJG) = 3 לפי (12), (13), (14): חישוב סעיף ב (16) S(HDEJ) = S△CDE − S△CHJ שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (17) S(HDEJ) = 5 לפי (13), (16): חישוב
שאלה 2: יחסי שטחים: הוכחה וחישוב
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. S△CED = 10 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) ∡BCE = ∡BDC נתון (2) ∡CBE = ∡DBC זווית משותפת (3) △BCE ∼ △BDC לפי (1), (2): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) BC/BD = BE/BC לפי (3): הגדרת משולשים דומים (5) BC² = BE · BD לפי (4): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (6) BE = 4, ED = 5 נתון (7) BC = 6 לפי (4), (6): חישוב (8) BC/BD = 2/3 לפי (6), (7): חישוב (9) S△BCE/S△BDC = 4/9 לפי (3), (8): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (10) S△BCE = 8 נתון (11) S△BCD = 18 לפי (9), (10): חישוב (12) S△CED = S△BCD − S△BCE שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (13) S△CED = 10 לפי (10), (11), (12): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. LJ = 5 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ∡HLM = ∡HKJ נתון (2) ∡LHM = ∡KHJ זווית משותפת (3) △HLM ∼ △HKJ לפי (1), (2): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) HL/HK = HM/HJ לפי (3): הגדרת משולשים דומים (5) HL · HJ = HM · HK לפי (4): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (6) HL = 3, HM = 4, MK = 2 נתון (7) HK = 6 לפי (6): חישוב (8) HJ = 8 לפי (4), (6), (7): חישוב (9) LJ = 5 לפי (6), (8): חישוב
שאלה 3: משפט חוצה הזווית
- א.א. ZV = 3/2 = 1½ ס״מ
ב. SW = 25/11 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ST = SU, SV ⟂ TU נתון (2) ST = 5, TU = 6 נתון (3) TV = VU לפי (1): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (4) TV = 3 לפי (2), (3): חישוב (5) SV = 4 לפי (1), (2), (4): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (6) ∡STW = ∡WTU נתון (7) SZ/ZV = ST/TV לפי (6): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (8) ZV = 3/2 לפי (2), (4), (5), (7): חישוב סעיף ב (9) SW/WU = ST/TU לפי (6): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (10) SW = 25/11 לפי (1), (2), (9): חישוב - ב.S△TUW = 28 סמ״ר
בניית עזר: TZ גובה לצלע UVטענה נימוק (1) ∡UTW = ∡WTV נתון (2) TU/TV = 4/7, S△TUV = 77 נתון (3) TZ ⟂ UV בניית עזר (4) S△TUW = ½ · UW · TZ לפי (3): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (5) S△TUV = ½ · UV · TZ לפי (3): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (6) UW/WV = TU/TV לפי (1): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (7) S△TUW = 28 לפי (2), (4), (5), (6): חישוב
שאלה 4: המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית
- א.א. הוכחה
ב. ST = 4 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) NP = 30, NR = 18, PR = 32, PS = 20 נתון (2) PS/SR = NP/NR לפי (1): חישוב (3) ∡PNS = ∡SNR לפי (2): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) T אמצע PR נתון (5) PT = TR לפי (4): הגדרת אמצע קטע (6) PT = 16 לפי (1), (5): חישוב (7) ST = 4 לפי (1), (6): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) HJ = 12, HK = 18, LJ = 16, LK = 24, JM = 8, MK = 12 נתון (2) JM/MK = HJ/HK לפי (1): חישוב (3) ∡JHM = ∡MHK לפי (2): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) JM/MK = LJ/LK לפי (1): חישוב (5) ∡JLM = ∡MLK לפי (4): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל)
שאלה 5: נקודת מפגש התיכונים
- א.א. MN = 4 ס״מ
ב. GN = 12 ס״מ
ג. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) K אמצע GJ, L אמצע GH נתון (2) ∡HMJ = 90° נתון (3) N אמצע HJ נתון (4) MN = ½HJ לפי (2), (3): במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר (משפט 31) (5) HJ = 8 נתון (6) MN = 4 לפי (4), (5): חישוב סעיף ב (7) M נקודת מפגש התיכונים במשולש GHJ לפי (1): שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת (משפט 15) (8) GM = 2MN, GN = 3MN לפי (7): נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 (החלק הקרוב לקודקוד ארוך פי 2 מהחלק האחר) (משפט 17) (9) GN = 12 לפי (4), (5), (8): חישוב סעיף ג (10) GH = GJ נתון (11) GN ⟂ HJ לפי (3), (10): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (מ.ש.ל) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) S אמצע PR נתון (2) NT = 2TS נתון (3) T נקודת מפגש התיכונים במשולש NPR לפי (1), (2): נקודה שמחלקת תיכון ביחס 2:1 היא נקודת מפגש התיכונים (4) U אמצע NR לפי (3): שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת (משפט 15) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) PU ⟂ NR נתון (6) NP = PR לפי (4), (5): אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים (משפט 27) (מ.ש.ל)
שאלה 6: מעגל: הגדרות בסיסיות
- א.א. הוכחה
ב. ∡OFG = 44°טענה נימוק סעיף א (1) OH ∥ FG נתון (2) ∡OHF = ∡HFG לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) OF = OH במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (4) ∡OFH = ∡OHF לפי (3): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (5) ∡OFH = ∡HFG לפי (2), (4): כלל המעבר (מ.ש.ל) סעיף ב (6) ∡FOH = 136° נתון (7) ∡OFH = 22° לפי (4), (6): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (8) ∡OFG = 44° לפי (5), (7): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.א. הוכחה
ב. ∡MON = 90°טענה נימוק סעיף א (1) MN ∥ KL נתון (2) ∡OMN = ∡KOM לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) ∡ONM = ∡NOL לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (4) OM = ON במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (5) OK = OL במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (6) ∡OMN = ∡ONM לפי (4): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (7) ∡KOM = ∡NOL לפי (2), (3), (6): חישוב (8) △KOM ≅ △LON לפי (4), (5), (7): משפט חפיפה צלע זווית צלע (משפט 18) (9) KM = LN לפי (8): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (מ.ש.ל) סעיף ב (10) ∡KOM = 45° נתון (11) ∡MOL = 135° לפי (10): זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180° (משפט 1) (12) ∡MON = 90° לפי (7), (10), (11): השלם שווה לסכום חלקיו
שאלה 7: זווית מרכזית, קשתות ומיתרים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) קשת JL = קשת LK נתון (2) ∡JOL = ∡KOL לפי (1): במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו (משפט 92) (3) LM ⟂ OJ, LN ⟂ OK נתון (4) ∡OML = 90°, ∡ONL = 90° לפי (3): הגדרת ישרים מאונכים (5) ∡OLM = ∡OLN לפי (2), (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (6) △OLM ≅ △OLN לפי (2), (5): משפט חפיפה זווית צלע זווית (משפט 19) (7) LM = LN לפי (6): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (מ.ש.ל) סעיף ב (8) OM = ON לפי (6): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (9) OJ = OK במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (10) JM = KN לפי (8), (9): השלם שווה לסכום חלקיו (מ.ש.ל) - ב.א. ∡LOP = 138°
ב. ∡LMN = 100°
ג. ∡MLP = 80°
ד. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) קשת LM = 62°, קשת MN = 98°, קשת NP = 62° נתון (2) ∡LOM = 62°, ∡MON = 98°, ∡NOP = 62° לפי (1): מידת קשת שווה למידת הזווית המרכזית הנשענת עליה (3) ∡LOP = 138° לפי (2): סכום הקשתות של מעגל הוא 360° סעיף ב (4) OL = OM = ON = OP במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (5) ∡OMN = ∡ONM, ∡OLM = ∡OML, ∡OLP = ∡OPL לפי (4): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (6) ∡OMN = 41° לפי (2), (5): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (7) ∡OML = 59° לפי (2), (5): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (8) ∡LMN = 100° לפי (6), (7): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ג (9) ∡OLP = 21° לפי (3), (5): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (10) ∡MLP = 80° לפי (5), (7), (9): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ד (11) ∡LMN + ∡MLP = 180° לפי (8), (10): חישוב (12) MN ∥ LP לפי (11): שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180°, אז שני הישרים מקבילים (משפט 9) (מ.ש.ל)
שאלה 8: האנך ממרכז המעגל למיתר
- א.א. הוכחה
ב. DE = 8 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) OD ⟂ AB, OE ⟂ AC נתון (2) D אמצע AB, E אמצע AC לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (3) DE ∥ BC, DE = ½BC לפי (2): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) BC = 16 נתון (5) DE = 8 לפי (3), (4): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) OJ ⟂ FG, ∡FOG = 120° נתון (2) ∡FOJ = ∡GOJ לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (3) ∡FOJ = 60° לפי (1), (2): השלם שווה לסכום חלקיו (4) ∡OJF = 90° לפי (1): הגדרת ישרים מאונכים (5) ∡OFJ = 30° לפי (3), (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (6) OJ = ½OF לפי (4), (5): אם במשולש ישר זווית, זווית חדה של 30°, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר (משפט 33) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) OF = OH במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (8) OJ = JH לפי (6), (7): השלם שווה לסכום חלקיו (9) J אמצע FG לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (10) OFHG מקבילית לפי (8), (9): מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית (משפט 47) (11) OFHG מעוין לפי (1), (10): מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין (משפט 58) (מ.ש.ל)
שאלה 9: מיתרים שווים ומרחקם מהמרכז
- א.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) AB = CD נתון (2) OF ⟂ AB, OG ⟂ CD נתון (3) OF = OG לפי (1), (2): מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל (משפט 95) (4) ∡OFE = 90°, ∡OGE = 90° לפי (2): הגדרת ישרים מאונכים (5) △OFE ≅ △OGE לפי (3), (4): שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה (משפט 30) (6) ∡OEF = ∡OEG לפי (5): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (מ.ש.ל) סעיף ב (7) EF = EG לפי (5): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (8) F אמצע AB, G אמצע CD לפי (2): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (9) EA = EC לפי (1), (7), (8): השלם שווה לסכום חלקיו (מ.ש.ל) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. ∡FEG = 90°טענה נימוק סעיף א (1) OH ⟂ EF, OJ ⟂ EG נתון (2) OH = OJ נתון (3) EF = EG לפי (1), (2): מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה (משפט 96) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) H אמצע EF, J אמצע EG לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (5) HJ ∥ FG לפי (4): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ג (6) ∡EFG = 45° נתון (7) ∡EFG = ∡EGF לפי (3): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (8) ∡FEG = 90° לפי (6), (7): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10)
שאלה 10: זוויות היקפיות
- א.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) JK ∥ LM נתון (2) ∡JKL = ∡KLM לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) JL = KM לפי (2): במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים (משפט 100) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) ∡JLK = ∡JMK במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (5) קשת JL = קשת KM לפי (3): במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו (משפט 94) (6) ∡JML = ∡KLM לפי (5): במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות (משפט 101) (7) ∡JLM = ∡KML לפי (4), (6): השלם שווה לסכום חלקיו (מ.ש.ל) - ב.א. הוכחה
ב. UV = 96 ס״מ
ג. SU = 60 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ST קוטר, W אמצע UV נתון (2) ST ⟂ UV לפי (1): קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר (משפט 98) (3) קשת SU = קשת SV לפי (2): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (4) ∡SUV = ∡STU לפי (3): במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות (משפט 101) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) SW = 36, WT = 64 נתון (6) ST = 100 לפי (5): השלם שווה לסכום חלקיו (7) OS = OT במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (8) OS = 50 לפי (6), (7): השלם שווה לסכום חלקיו (9) OW = 14 לפי (5), (8): השלם שווה לסכום חלקיו (10) OU = OS במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (11) OU = 50 לפי (8), (10): כלל המעבר (12) UW = 48 לפי (2), (9), (11): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (13) UW = WV לפי (1): הגדרת אמצע קטע (14) UV = 96 לפי (12), (13): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ג (15) SU = 60 לפי (2), (5), (12): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28)
שאלה 11: פרופורציות במעגל
- א.א. VS = 9 ס״מ
ב. OR = 5 ס״מ
ג. OV = 4 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) RS קוטר, RS ⟂ TU נתון (2) TV = VU לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (3) TU = 6, RV = 1 נתון (4) TU = TV + VU השלם שווה לסכום חלקיו (5) TV = 3, VU = 3 לפי (2), (3), (4): חישוב (6) RV · VS = TV · VU אם שני מיתרים נחתכים, מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני (7) VS = 9 לפי (3), (5), (6): חישוב סעיף ב (8) RS = RV + VS השלם שווה לסכום חלקיו (9) RS = 10 לפי (3), (7), (8): חישוב (10) RS = 2OR הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (11) OR = 5 לפי (9), (10): חישוב סעיף ג (12) OR = RV + VO השלם שווה לסכום חלקיו (13) OV = 4 לפי (3), (11), (12): חישוב - ב.א. FG = 8 ס״מ, GH = 6 ס״מ
ב. JG = 12 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ∡FJE = ∡EJH נתון (2) FG/GH = JF/JH לפי (1): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (3) JF = 16, JH = 12, FH = 14, GE = 4 נתון (4) FH = FG + GH השלם שווה לסכום חלקיו (5) FG = 8, GH = 6 לפי (2), (3), (4): חישוב סעיף ב (6) JG · GE = FG · GH אם שני מיתרים נחתכים, מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני (7) JG = 12 לפי (3), (5), (6): חישוב
שאלה 12: מעגל, תרגילים מסכמים
- א.א. הוכחה
ב. JH = 6 ס״מ
ג. EG = 5 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ∡EHG + ∡FGH = 90° נתון (2) ∡EFG = ∡EHG במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (3) ∡EFG + ∡FGH = 90° לפי (1), (2): חישוב (4) ∡FJG = 90° לפי (3): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) EF ⟂ GH לפי (4): הגדרת ישרים מאונכים (מ.ש.ל) סעיף ב (6) EJ = 3, JF = 8, GJ = 4 נתון (7) EJ · JF = GJ · JH אם שני מיתרים נחתכים, מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני (8) JH = 6 לפי (6), (7): חישוב סעיף ג (9) EG = 5 לפי (5), (6): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. ∡JHG = 56°טענה נימוק סעיף א (1) EF קוטר נתון (2) ∡EHF = 90° לפי (1): זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה 90° (משפט 103) (3) EF = EG נתון (4) H אמצע FG לפי (2), (3): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) ∡EJF = 90° לפי (1): זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה 90° (משפט 103) (6) ∡FJG = 90° לפי (5): זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180° (משפט 1) (7) HJ = ½FG לפי (4), (6): במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר (משפט 31) (8) FH = HG לפי (4): הגדרת אמצע קטע (9) FG = FH + HG השלם שווה לסכום חלקיו (10) HJ = HF לפי (7), (8), (9): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (11) ∡FEG = 56° נתון (12) ∡EFG = ∡EGF לפי (3): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (13) ∡EGF = 62° לפי (11), (12): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (14) HJ = HG לפי (10), (8): חישוב (15) ∡HJG = ∡HGJ לפי (14): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (16) ∡JHG = 56° לפי (13), (15): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10)
שאלה 13: מעגל חוסם משולש
- א.א. ∡SRT = 68°, ∡STR = 60°, ∡TSR = 52°
ב. ∡UST = 22°טענה נימוק סעיף א (1) U מרכז המעגל החוסם את המשולש RTS נתון (2) ∡SUT = 136°, ∡SUR = 120° נתון (3) ∡SUT = 2∡SRT, ∡SUR = 2∡STR לפי (1): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) (4) ∡SRT = 68°, ∡STR = 60° לפי (2), (3): חישוב (5) ∡TSR = 52° לפי (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) סעיף ב (6) US = UT במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (7) ∡UST = ∡UTS לפי (6): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (8) ∡UST = 22° לפי (2), (7): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) RP = RL נתון (2) RM ⟂ PL נתון (3) M אמצע PL לפי (1), (2): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (4) NP = NL לפי (2), (3): כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע (משפט 82) (5) NR = NP נתון (6) N מרכז המעגל החוסם את המשולש RPL לפי (4), (5): הגדרת מעגל חוסם משולש (מ.ש.ל) סעיף ב (7) ∡PNL = 2∡PRL לפי (6): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) (8) ∡PNM = ∡MNL לפי (3), (4): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (9) ∡PNL = ∡PNM + ∡MNL השלם שווה לסכום חלקיו (10) ∡PNM = ∡PRL לפי (7), (8), (9): חישוב (מ.ש.ל)
שאלה 14: מעגל חסום במשולש
- א.∡SRN = 50°, ∡NSR = 60°, ∡SNR = 70°
טענה נימוק סעיף א (1) P מרכז המעגל החסום במשולש SNR נתון (2) ∡NPR = 120°, ∡SPR = 125° נתון (3) ∡PNR = ½∡SNR, ∡PRN = ½∡SRN, ∡PSR = ½∡NSR, ∡PRS = ½∡SRN לפי (1): שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש (משפט 80) (4) ∡PNR + ∡PRN = 60° לפי (2): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) ∡PSR + ∡PRS = 55° לפי (2): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (6) ∡NSR + ∡SNR + ∡SRN = 180° סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (7) ∡SRN = 50°, ∡NSR = 60°, ∡SNR = 70° לפי (3), (4), (5), (6): חישוב - ב.NR = 4 ס״מ, TV = 10 ס״מ, SP = 5 ס״מ
טענה נימוק סעיף א (1) TS משיק למעגל שמרכזו U בנקודה V, SN משיק למעגל שמרכזו U בנקודה P, NT משיק למעגל שמרכזו U בנקודה R נתון (2) NT = 14, TS = 15, SN = 9 נתון (3) NP = NR, TR = TV, SV = SP לפי (1): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (4) NT = NR + RT, TS = TV + VS, SN = SP + PN השלם שווה לסכום חלקיו (5) NR = 4, TV = 10, SP = 5 לפי (2), (3), (4): חישוב
שאלה 15: קטע אמצעים במשולש
- א.א. הוכחה
ב. FG = 10 ס״מ, DE = 20 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) F אמצע CD, G אמצע CE, H אמצע CF, J אמצע CG נתון (2) FG קטע אמצעים במשולש CDE לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (3) FG = ½DE לפי (2): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (4) HJ קטע אמצעים במשולש CFG לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (5) HJ = ½FG לפי (4): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (6) DE = 4HJ לפי (3), (5): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (7) HJ = 5 נתון (8) FG = 10 לפי (5), (7): חישוב (9) DE = 20 לפי (6), (7): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. DF = 30 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) D אמצע AB, E אמצע AC, F אמצע BC נתון (2) DE קטע אמצעים במשולש ABC לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (3) DE ∥ BC לפי (2): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (4) EF קטע אמצעים במשולש CAB לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (5) EF ∥ AB לפי (4): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (6) DBFE מקבילית לפי (3), (5): הגדרת מקבילית (7) ∡ABC = 90° נתון (8) DBFE מלבן לפי (6), (7): מקבילית שבה יש זווית ישרה היא מלבן (משפט 54) (מ.ש.ל) סעיף ב (9) AB = 36, BC = 48 נתון (10) AC = 60 לפי (7), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) DF קטע אמצעים במשולש BAC לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (12) DF = ½AC לפי (11): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (13) DF = 30 לפי (10), (12): חישוב
שאלה 16: קטע אמצעים בטרפז
- א.א. הוכחה
ב. FG = 4 ס״מ, JH = 10 ס״מ
ג. KL = 7 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) FGHJ טרפז, K אמצע FJ, L אמצע GH נתון (2) KL קטע אמצעים בטרפז FGHJ לפי (1): הגדרת קטע אמצעים בטרפז (3) KL ∥ FG לפי (2): קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם (משפט 65) (4) M אמצע GJ לפי (1), (3): ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה, חוצה את הצלע השלישית (משפט 63) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) KM קטע אמצעים במשולש JFG לפי (1), (4): הגדרת קטע אמצעים במשולש (6) KM = ½FG לפי (5): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (7) ML קטע אמצעים במשולש GJH לפי (1), (4): הגדרת קטע אמצעים במשולש (8) ML = ½JH לפי (7): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (9) KM = 2, ML = 5 נתון (10) FG = 4, JH = 10 לפי (6), (8), (9): חישוב סעיף ג (11) KM + ML = KL חיבור קטעים (12) KL = 7 לפי (9), (11): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. LM = 18 ס״מ, NP = 14 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) GHJK טרפז, L אמצע GK, M אמצע HJ נתון (2) LM קטע אמצעים בטרפז GHJK לפי (1): הגדרת קטע אמצעים בטרפז (3) LM ∥ GH, LM = ½(GH + KJ) לפי (2): קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם (משפט 65) (4) GHML טרפז לפי (3): הגדרת טרפז (מ.ש.ל) סעיף ב (5) N אמצע GL, P אמצע HM נתון (6) NP קטע אמצעים בטרפז GHML לפי (4), (5): הגדרת קטע אמצעים בטרפז (7) NP ∥ GH, NP = ½(GH + LM) לפי (6): קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם (משפט 65) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) GH = 10, KJ = 26 נתון (9) LM = 18, NP = 14 לפי (3), (7), (8): חישוב
שאלה 17: פרופורציה ודמיון: תרגילים מסכמים
- א.א. הוכחה
ב. HF = 12 ס״מ
ג. S△GHF = 54 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) HFJL ריבוע נתון (2) HF ∥ LJ לפי (1): הגדרת מקבילית (3) ∡GHF = ∡GEM לפי (2): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו (משפט 6) (4) △GHF ∼ △GEM לפי (3): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) GN ⟂ EM, EM = 28, GN = 21 נתון (6) HL ⟂ LJ, HL = HF לפי (1): הגדרת ריבוע (7) ∡GNM = 90° לפי (5): הגדרת ישרים מאונכים (8) ∡GKF = ∡GNM לפי (2): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו (משפט 6) (9) ∡GKF = 90° לפי (7), (8): חישוב (10) HF/EM = GK/GN לפי (4), (7), (9): במשולשים דומים: יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון (משפט 71א) (11) KN = HL לפי (2), (5), (6): אורך האנך מנקודה על ישר לישר המקביל לו, קבוע (משפט 3) (12) HF = 12 לפי (5), (6), (10), (11): חישוב סעיף ג (13) S△GHF = ½ · HF · GK לפי (9): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (14) S△GHF = 54 לפי (5), (11), (6), (12), (13): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. GD = 25 ס״מ, FH = 16 ס״מ, GH = 12 ס״מ
ג. S△GHF = 96 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) GJEF ריבוע, FH ⟂ GD נתון (2) ∡GJD = 90°, GJ = GF לפי (1): הגדרת ריבוע (3) ∡FHG = 90° לפי (1): הגדרת ישרים מאונכים (4) ∡JGD + ∡GDJ = 90° לפי (2): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) JE ∥ GF לפי (1): הגדרת מקבילית (6) ∡GDJ = ∡DGF לפי (5): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (7) ∡HFG + ∡HGF = 90° לפי (3): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (8) ∡JGD = ∡HFG לפי (4), (6), (7): חישוב (9) △GJD ∼ △FHG לפי (2), (3), (8): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (10) GJ = 20, JD = 15 נתון (11) GD = 25 לפי (2), (10): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (12) GJ/FH = JD/HG = GD/FG לפי (9): הגדרת משולשים דומים (13) FH = 16 לפי (2), (10), (11), (12): חישוב (14) GH = 12 לפי (2), (10), (11), (12): חישוב סעיף ג (15) S△GHF = ½ · GH · FH לפי (3): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (16) S△GHF = 96 לפי (13), (14), (15): חישוב
שאלה 18: מרובע חסום במעגל
- א.א. ∡EHG = 105°
ב. ∡FEH = 83°
ג. ∡EJF = 110°טענה נימוק סעיף א (1) EFGH חסום במעגל נתון (2) ∡EFH = 31°, ∡HFG = 44°, ∡EGF = 66° נתון (3) ∡EFG = ∡EFH + ∡HFG השלם שווה לסכום חלקיו (4) ∡EFG + ∡EHG = 180° לפי (1): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (5) ∡EHG = 105° לפי (2), (3), (4): חישוב סעיף ב (6) ∡EGH = ∡EFH לפי (1): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (7) ∡FGH = ∡FGE + ∡EGH השלם שווה לסכום חלקיו (8) ∡FEH + ∡FGH = 180° לפי (1): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (9) ∡FEH = 83° לפי (2), (6), (7), (8): חישוב סעיף ג (10) ∡EHF = ∡EGF לפי (1): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (11) ∡EHG = ∡EHF + ∡FHG השלם שווה לסכום חלקיו (12) ∡FEG = ∡FHG לפי (1): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (13) ∡EJF = 110° לפי (2), (5), (10), (11), (12): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. ∡EHF = 26°טענה נימוק סעיף א (1) JK משיק למעגל, JK ∥ FH נתון (2) ∡JEF = ∡EHF לפי (1): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (3) ∡JEF = ∡EFH לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (4) ∡EFH = ∡EHF לפי (2), (3): חישוב (5) EF = EH לפי (4): משולש שבו שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים (משפט 23) (מ.ש.ל) סעיף ב (6) EFGH חסום במעגל נתון (7) ∡FGE = ∡FHE לפי (6): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (8) ∡EGH = ∡EFH לפי (6): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (9) ∡FGE = ∡EGH לפי (4), (7), (8): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (10) ∡FGH = 52° נתון (11) ∡FEH + ∡FGH = 180° לפי (6): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (12) ∡EHF = 26° לפי (4), (10), (11): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10)
שאלה 19: מרובע חוסם מעגל
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. OT = 13 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) TU = TW, VU = VW, ∡TUV = 90° נתון (2) TUVW דלתון לפי (1): הגדרת דלתון (3) ∡TUV = ∡TWV לפי (2): זוויות הצד בדלתון שוות זו לזו (משפט 37) (4) ∡TUV + ∡TWV = 180° לפי (1), (3): חישוב (5) TUVW בר־חסימה במעגל לפי (4): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (מ.ש.ל) סעיף ב (6) TU + VW = UV + WT לפי (1): חישוב (7) TUVW חוסם מעגל לפי (6): מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות (משפט 88) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) TV קוטר לפי (1): זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר (משפט 104) (9) TU = 10, UV = 24 נתון (10) TV = 26 לפי (1), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) TV = 2OT הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (12) OT = 13 לפי (10), (11): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. OK = 12 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) FGHJ חוסם מעגל נתון (2) OK ⟂ FG, OL ⟂ GH, OM ⟂ HJ, ON ⟂ JF לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) S(FGHJ) = S△OFG + S△OGH + S△OHJ + S△OJF שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (4) S△OFG = ½ · FG · OK, S△OGH = ½ · GH · OL, S△OHJ = ½ · HJ · OM, S△OJF = ½ · JF · ON לפי (2): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (5) OL = OK, OM = OK, ON = OK במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (6) FG + HJ = GH + JF לפי (1): מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות (משפט 88) (7) S(FGHJ) = OK · (FG + HJ) לפי (3), (4), (5), (6): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (8) FG = 15, HJ = 40, S(FGHJ) = 660 נתון (9) OK = 12 לפי (7), (8): חישוב
שאלה 20: דמיון משולשים וקטעים מיוחדים: תרגילים מסכמים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. GH = 30 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) HK ⟂ JG, JL ⟂ GH נתון (2) ∡HKG = 90°, ∡JLG = 90° לפי (1): הגדרת ישרים מאונכים (3) △GHK ∼ △GJL לפי (2): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) GH/GJ = HK/JL = GK/GL לפי (3): הגדרת משולשים דומים (5) GK · GJ = GL · GH לפי (4): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (6) GK = 12, GJ = 25, GL = 10 נתון (7) GH = 30 לפי (5), (6): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. NT = 9 ס״מ, TR = 15 ס״מ
ג. S△NTP/S△RTS = 9/25טענה נימוק סעיף א (1) NP ∥ SR נתון (2) ∡PNT = ∡SRT לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) ∡NTP = ∡RTS זוויות קודקודיות שוות זו לזו (משפט 2) (4) △NTP ∼ △RTS לפי (2), (3): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) NT/RT = NP/RS = TP/TS לפי (4): הגדרת משולשים דומים (6) NP = 12, SR = 20, NR = 24 נתון (7) NT = 9 לפי (5), (6): חישוב (8) TR = 15 לפי (5), (6): חישוב דרך נוספת (9) TN/TR = NP/RS לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (10) NT = 9 לפי (9), (6): חישוב סעיף ג (11) NP/SR = 3/5 לפי (6): חישוב (12) S△NTP/S△RTS = 9/25 לפי (4), (11): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז)
שאלה 21: משיק ורדיוס
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. ∡QNL = 30°טענה נימוק סעיף א (1) QL = QM במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (2) ∡QLM = ∡QML לפי (1): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (3) ∡LQM = 60° נתון (4) ∡QLM = 60°, ∡QML = 60° לפי (2), (3): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) ∡QLM = ∡LQM לפי (3), (4): חישוב (6) LM = QM לפי (5): משולש שבו שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים (משפט 23) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) MN = QM נתון (8) LM = ½QN לפי (6), (7): השלם שווה לסכום חלקיו (9) ∡QLN = 90° לפי (7), (8): משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית (משפט 32) (10) LN משיק למעגל שמרכזו Q לפי (9): ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל (משפט 106) (מ.ש.ל) סעיף ג (11) ∡QNL = 30° לפי (3), (9): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) NP משיק למעגל שמרכזו Q נתון (2) ∡QNP = 90° לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) MP = QM נתון (4) QM = QN במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (5) QN = ½QP לפי (3), (4): השלם שווה לסכום חלקיו (6) ∡NPQ = 30° לפי (2), (5): אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית שגודלה 30° (משפט 34) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) NM = ½QP לפי (2), (3): במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר (משפט 31) (8) NM = MP לפי (3), (4), (5), (7): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (9) ∡NQP = 60° לפי (2), (6): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (10) QL = QN במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (11) ∡QNL = ∡QLN לפי (10): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (12) ∡QLN = 30° לפי (9), (11): זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה (משפט 11) (13) ∡NLP = ∡NPL לפי (6), (12): חישוב (14) LN = NP לפי (13): משולש שבו שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים (משפט 23) (מ.ש.ל)
שאלה 22: שני משיקים
- א.א. EJ + JK + EK = 18 ס״מ
ב. ∡JQK = 74°טענה נימוק סעיף א (1) EF משיק למעגל שמרכזו Q, EG משיק למעגל שמרכזו Q, JK משיק למעגל שמרכזו Q נתון (2) JF = JH, KH = KG, EF = EG לפי (1): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (3) EF = 9 נתון (4) EJ + JK + EK = 18 לפי (2), (3): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ב (5) ∡QFJ = 90°, ∡QHJ = 90°, ∡QHK = 90°, ∡QGK = 90° לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (6) QF = QH, QG = QH במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (7) △QFJ ≅ △QHJ לפי (5), (6): שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה (משפט 30) (8) ∡FQJ = ∡HQJ לפי (7): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (9) △QHK ≅ △QGK לפי (5), (6): שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה (משפט 30) (10) ∡HQK = ∡GQK לפי (9): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (11) ∡FEG = 32° נתון (12) ∡FQG = 148° לפי (5), (11): סכום זוויות במרובע הוא 360° (משפט 35) (13) ∡JQK = 74° לפי (8), (10), (12): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.הוכחה
טענה נימוק (1) DE משיק למעגל שמרכזו Q, DF משיק למעגל שמרכזו Q נתון (2) ∡EDF = 60° נתון (3) ∡EDQ = 30° לפי (1), (2): קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים (משפט 109) (4) ∡QED = 90°, ∡QFD = 90° לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (5) QE = ½QD לפי (3), (4): אם במשולש ישר זווית, זווית חדה של 30°, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר (משפט 33) (6) QG = QE במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (7) QG = GD לפי (5), (6): השלם שווה לסכום חלקיו (8) EG = ½QD, FG = ½QD לפי (4), (7): במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר (משפט 31) (9) QF = QE במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (10) EG = QF, FG = QE לפי (5), (8), (9): חישוב (11) EQFG מקבילית לפי (10): מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית (משפט 44) (12) EQFG מעוין לפי (9), (11): מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין (משפט 59) (מ.ש.ל)
שאלה 23: משיק ומיתר
- א.א. ∡LMN = 52°
ב. ∡MLN = 76°
ג. ∡MQN = 104°טענה נימוק סעיף א (1) LM משיק למעגל שמרכזו Q, LN משיק למעגל שמרכזו Q נתון (2) ∡MPN = 52° נתון (3) ∡LMN = ∡MPN לפי (1): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (4) ∡LMN = 52° לפי (2), (3): חישוב סעיף ב (5) LM = LN לפי (1): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (6) ∡LMN = ∡LNM לפי (5): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (7) ∡MLN = 76° לפי (4), (6): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) סעיף ג (8) ∡MQN = 104° לפי (2): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) - ב.א. הוכחה
ב. CE = 12 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) CG משיק למעגל שמרכזו O נתון (2) ∡GCD = ∡CED לפי (1): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (3) EF ∥ CG נתון (4) ∡CFE = ∡GCD לפי (3): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (5) ∡CFE = ∡CED לפי (2), (4): חישוב (6) △CFE ∼ △CED לפי (5): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) CF = 8, CD = 18 נתון (8) CF/CE = CE/CD לפי (6): הגדרת משולשים דומים (9) CE = 12 לפי (7), (8): חישוב
שאלה 24: משפט תאלס: חישובים
- א.KJ = 8 ס״מ, JL = 12 ס״מ
טענה נימוק (1) JH ∥ LM נתון (2) KJ/JL = KH/HM לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) JL = KJ + 4, KH = 6, HM = 9 נתון (4) KJ = 8, JL = 12 לפי (2), (3): חישוב - ב.TP = 24 ס״מ
טענה נימוק (1) UR ∥ TP נתון (2) VS/SW = 3/4, UR = 18 נתון (3) US/SP = VS/SW לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (4) UR/TP = US/SP לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (5) TP = 24 לפי (2), (3), (4): חישוב
שאלה 25: משפט תאלס: הוכחות
- א.א. הוכחה
ב. HD = 6 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) HB ∥ EC נתון (2) HD/EG = FD/FG לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) DB/GC = FD/FG לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (4) HD = DB נתון (5) EG = GC לפי (2), (3), (4): חישוב (6) G אמצע EC לפי (5): הגדרת אמצע קטע (מ.ש.ל) סעיף ב (7) EC = 20, FH/HE = 3/2 נתון (8) HD/EG = FH/FE לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (9) HD = 6 לפי (5), (7), (8): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) UR ∥ TS נתון (2) PU/PS = PR/PT לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) PU · PT = PR · PS לפי (2): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (4) PU/PS = UR/TS לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (5) VP ∥ TS נתון (6) UV/VT = UP/PS לפי (5): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (7) UV/VT = UR/TS לפי (4), (6): כלל המעבר (מ.ש.ל)
שאלה 26: המשפט ההפוך למשפט תאלס
- א.הוכחה
טענה נימוק (1) BD ∥ CH נתון (2) EB/BC = ED/DH לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) EG/GF = EB/BC נתון (4) EG/GF = ED/DH לפי (2), (3): כלל המעבר (5) GD ∥ FH לפי (4): משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים (משפט 74) (מ.ש.ל) - ב.הוכחה
טענה נימוק (1) TV ∥ PR נתון (2) TV = 3, PR = 6, TU = 1, UP = 2 נתון (3) TS/SR = TV/PR לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (4) TU/UP = TS/SR לפי (2), (3): חישוב (5) US ∥ PR לפי (4): משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים (משפט 74) (מ.ש.ל)
שאלה 27: שני מעגלים בעלי מרכז משותף
- א.א. הוכחה
ב. BD = 24 ס״מ, BF/BD = 10/13טענה נימוק סעיף א (1) BD משיק למעגל הקטן בנקודה C, DF משיק למעגל הקטן בנקודה E נתון (2) QC ⟂ BD, QE ⟂ DF לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) QC = QE במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (4) BD = DF לפי (2), (3): מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה (משפט 96) (5) QB = QF במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (6) D על האנך האמצעי לקטע BF, Q על האנך האמצעי לקטע BF לפי (4), (5): כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע, נמצאת על האנך האמצעי לקטע (משפט 83) (7) DQ ⟂ BF לפי (6): דרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד (מ.ש.ל) סעיף ב (8) QC = 5, QB = 13 נתון (9) ∡QCB = 90° לפי (2): הגדרת ישרים מאונכים (10) BC = 12 לפי (8), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) BC = CD לפי (2): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (12) BD = BC + CD השלם שווה לסכום חלקיו (13) BD = 24 לפי (10), (11), (12): חישוב (14) ∡DGB = 90° לפי (7): הגדרת ישרים מאונכים (15) ∡DCQ = 90° לפי (2): הגדרת ישרים מאונכים (16) ∡CDQ = ∡BDG זווית משותפת (17) △DCQ ∼ △DGB לפי (14), (15), (16): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (18) GB/DB = CQ/DQ לפי (17): הגדרת משולשים דומים (19) BG = GF לפי (7): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (20) QD = QB במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (21) BF = BG + GF השלם שווה לסכום חלקיו (22) BF/BD = 10/13 לפי (8), (18), (19), (20), (21): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. VN = 17 ס״מ, VP = 7 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) NP משיק למעגל הקטן בנקודה T, RS משיק למעגל הקטן בנקודה U, NP ⟂ RS נתון (2) KT ⟂ NP, KU ⟂ RS לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) ∡KTV = 90°, ∡KUV = 90°, ∡TVU = 90° לפי (1), (2): הגדרת ישרים מאונכים (4) ∡TKU = 90° לפי (3): סכום זוויות במרובע הוא 360° (משפט 35) (5) KTVU מקבילית לפי (3), (4): מרובע שבו כל שתי זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית (משפט 49) (6) KTVU מלבן לפי (5), (3): מקבילית שבה יש זווית ישרה היא מלבן (משפט 54) (7) KT = KU במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (8) KTVU ריבוע לפי (6), (7): מלבן בו הצלעות הסמוכות שוות הוא ריבוע (משפט 61) (מ.ש.ל) סעיף ב (9) KT = 5, KN = 13 נתון (10) NT = 12 לפי (2), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) NT = TP לפי (2): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (12) TV = KU לפי (6): במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו (משפט 43) (13) TV = 5 לפי (7), (9), (12): חישוב (14) VN = 17, VP = 7 לפי (10), (11), (13): השלם שווה לסכום חלקיו
שאלה 28: מעגלים נחתכים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. GH = 42 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) EG קוטר, EH קוטר נתון (2) ∡EFG = 90°, ∡EFH = 90° לפי (1): זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה 90° (משפט 103) (3) F על הקטע GH לפי (2): דרך נקודה על ישר עובר אנך אחד בלבד לישר (מ.ש.ל) סעיף ב (4) N אמצע EG, Q אמצע EH לפי (1): הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (5) NQ קטע אמצעים במשולש EGH לפי (4): הגדרת קטע אמצעים במשולש (6) NQ ∥ GH, NQ = ½GH לפי (5): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ג (7) NE = 10, QE = 17, EF = 16 נתון (8) EG = 2NE, EH = 2QE לפי (1): הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (9) EG = 20, EH = 34 לפי (7), (8): חישוב (10) FG = 12, FH = 30 לפי (2), (7), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) GH = 42 לפי (10): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. UV = 72 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) OU = KU נתון (2) OU = OV, KU = KV במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (3) OU = KV, UK = VO, OU = UK לפי (1), (2): חישוב (4) OUKV מקבילית לפי (3): מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית (משפט 44) (5) OUKV מעוין לפי (3), (4): מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין (משפט 59) (מ.ש.ל) סעיף ב (6) OK ⟂ UV לפי (5): במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה (משפט 56) (מ.ש.ל) סעיף ג (7) OU = 45, OK = 54 נתון (8) OW = WK, UW = WV לפי (5): במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה (משפט 46) (9) OW = 27 לפי (7), (8): השלם שווה לסכום חלקיו (10) UW = 36 לפי (6), (7), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) UV = 72 לפי (8), (10): השלם שווה לסכום חלקיו
שאלה 29: מעגלים משיקים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. FJ = 3 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) המעגלים שמרכזיהם Q ו־N משיקים בנקודה F, GH משיק למעגל שמרכזו Q בנקודה G, GH משיק למעגל שמרכזו N בנקודה H נתון (2) JF משיק למעגל שמרכזו Q בנקודה F, JF משיק למעגל שמרכזו N בנקודה F לפי (1): הגדרת מעגלים משיקים: יש להם משיק משותף בנקודת ההשקה (3) JG = JF, JH = JF לפי (1), (2): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (4) JG = JH לפי (3): כלל המעבר (5) J אמצע GH לפי (4): הגדרת אמצע קטע (מ.ש.ל) סעיף ב (6) FJ = ½GH לפי (3): השלם שווה לסכום חלקיו (7) ∡GFH = 90° לפי (5), (6): משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית (משפט 32) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) GH = 6 נתון (9) FJ = 3 לפי (6), (8): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
בניית עזר: המשיק המשותף בנקודה C, ו־J נקודה עליוטענה נימוק סעיף א (1) המעגלים שמרכזיהם M ו־K משיקים בנקודה C, DE משיק למעגל שמרכזו K בנקודה F נתון (2) JC משיק למעגל שמרכזו M בנקודה C, JC משיק למעגל שמרכזו K בנקודה C לפי (1): הגדרת מעגלים משיקים: יש להם משיק משותף בנקודת ההשקה (3) ∡JCG = ∡CHG לפי (2): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (4) ∡JCD = ∡CED לפי (2): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (5) ∡CHG = ∡CED לפי (3), (4): חישוב (6) GH ∥ DE לפי (5): שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם נוצרו זוג זוויות מתאימות שוות אז שני הישרים מקבילים (משפט 7) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) ∡HFE = ∡FCH לפי (1): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (8) ∡HFE = ∡FHG לפי (6): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (9) ∡FHG = ∡FCG במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (10) ∡DCF = ∡FCE לפי (7), (8), (9): חישוב (מ.ש.ל)
דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il
הדף המלא מחכה לכם
כניסה בחינם עם Google פותחת את כל התרגילים ואת דף התשובות.
המשך עם Googleבלי סיסמה ובלי כרטיס אשראי. אחרי הכניסה חוזרים לכאן.שאלות נפוצות
האם הדף חינמי?
כן. כניסה בחינם עם Google פותחת את הדף המלא ואת דף התשובות, ואפשר ליצור במחולל דפים חדשים.
יש דף תשובות?
כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.
האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?
כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 5 יח״ל.
אפשר להכין מבחן או בוחן בנושא?
כן. במחולל בוחרים את סוגי התרגילים של גאומטריה ואת הרמה, ו„א׳ + ב׳” נותן שתי גרסאות מקבילות של המבחן (כדי שלא יעתיקו), כל אחת עם דף תשובות.
אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?
כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.