מחולל תרגילי מתמטיקה

כניסה או הרשמה

חשבון אחד לכל המחשבים שלכם: הנושא שבחרתם, המנוי והדפים.

המשך עם Google

אין לכם חשבון? הכניסה הראשונה יוצרת אותו, בלי סיסמה. נשמרים רק המייל, השם והתוכנית. פרטיות

תוכניות ומחירים

חקירת פונקציית פולינום: דף עבודה ותרגילים לכיתה י׳ 4 יח״ל

20 סוגי תרגילים בנושא חקירת פונקציית פולינום, מהקל לקשה: נגזרת פולינום, ערך הנגזרת, שיפוע משיק ועוד. עם דף תשובות בדוק · מוכן להדפסה או PDF · התחלה בחינם. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.

צרו דף חדש בנושא

מה יש בדף

  • נגזרת פולינום: כללי הגזירה, מקדמים שבריים, פתיחת סוגריים, מציאת טעות, פונקציה שהנגזרת שלה נתונה
  • ערך הנגזרת: הצבה בנגזרת, f′(x) = k, סימן הנגזרת בגרף, f′(x) = g′(x), הוכחות
  • שיפוע משיק: שיפוע בנקודה, נקודה עם שיפוע נתון, משיק מקביל ומאונך, הוכחות
  • משוואת משיק לגרף הפונקציה: משיק בנקודה, בשיפוע נתון, מקביל ומאונך לישר, חיתוך עם הצירים, משיק ומיתר
  • משיק עם פרמטרים: גזירה עם פרמטרים, פרמטר מתוך שיפוע, מקביל לציר או לישר, ישר משיק, שני פרמטרים, משיק מנקודה חיצונית
  • נגזרות פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי: (ax + b)ⁿ, ‏(g(x))ⁿ, משיק, בשתי דרכים, משיקים בשיפוע נתון, פרמטר, משיק אופקי
  • נגזרת מכפלת שתי פונקציות: כלל המכפלה, בשתי דרכים, h′(a) מנתונים ומגרף, טעות (fg)′ = f′g′, פירוק לגורמים, משיק, ★ שלושה גורמים
  • מציאת נקודות קיצון: נגזרת, טבלת סימנים, מקסימום / מינימום / לא קיצון, סקיצה, טעות, הוכחה, דוגמה
  • מציאת תחומי עלייה וירידה: סימן הנגזרת בכל קטע, סקיצה, עולה / יורדת בנקודה, הוכחה, טעות, פרמטר, דוגמה
  • חקירה מלאה: תחום, קיצון, עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים, סקיצה; סקיצה מתאימה, השקה לציר, פרמטר; סעיפי חשיבה
  • נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן נקודות קיצון: f' = 0 בלי החלפת סימן: סיווג כל הנקודות, הוכחה, נגזרת מפורקת, גרף הנגזרת, טעות, פרמטר
  • חקירה עם פרמטרים: קיצון נתון ← פרמטר וסוג, שני פרמטרים, תחומים נתונים, עולה בנקודה, טענה על קיצון, גרף עם מידות, ★ שלושה פרמטרים
  • חקירה — הבעה באמצעות פרמטרים: קיצון ותחומים באמצעות a, תנאי ← פרמטר, הוכחה, חקירה מלאה עם סקיצה, ★ ax⁴ − 4x³
  • חקירת פונקציה מורכבת: (g(x))ⁿ: אפסי g ואפסי g′, זוגיות הריבוי, חקירה עם סקיצה וסעיפי חשיבה, פרמטר, ★ פישוט לפני גזירה
  • חקירת פונקציית מכפלה של שתי פונקציות: (x − p)ʲ(x − q)ˡ: קיצון, תחומים, y′ = 0 וסיווג, חקירה עם סקיצה וסעיפי חשיבה, פרמטר
  • פונקציה זוגית ואי־זוגית: f(−x) = f(x) / −f(x), נגד־דוגמה, גרפים, השלמת גרף בסימטריה, זוגיות הנגזרת, הוכחות כלליות, ★ פרמטר, דוגמה
  • הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת שלה: גרף f ← סימן f′, בחירת גרף f′, גרף f′ ← תחומים וקיצון, משיק וסקיצה, סקיצה של f′, נכון / לא נכון, ★ תחום סגור
  • בעיות קיצון מספריות: סכום / הפרש קבוע, מספר וריבועו, מספר וחזקתו השלישית, מכפלת חזקות, אילוץ לינארי וריבועי, שלושה מספרים, תחום סגור, פרמטר, ★ ערך האופטימום נתון
  • בעיות קיצון גיאומטריות: היקף קבוע, גדרות ומחיצות, משולש, מעוין ודלתון, קופסה פתוחה מגיליון, חזית בית, תיבה ממוטות, תיבה עם שטח פנים נתון, מקבילית חסומה, מלבן במשולש, ריבוע בתוך ריבוע (חפיפת משולשים), ישר המקביל לצלע במשולש (משפט תאלס), צורות על קטע, פרמטר, ★ השטח המקסימלי נתון, תחום סגור
  • בעיות קיצון בפונקציות וגרפים: נקודה על ישר / פרבולה ← שטח, מרחקים והיקף, קטע אנכי בין גרפים (ישר ופרבולה, ישר ופונקציה ממעלה שלישית, שתי פרבולות), מלבן בין שתי פרבולות ומתחת ל־c − kx⁴, מלבן מתחת לציר x (רביע שלישי / רביעי), משולש בין נקודות החיתוך של פרבולה וישר ונקודה נעה, נקודה על ישר / פרבולה הקרובה ביותר לנקודה, נקודה על פרבולה הקרובה ביותר לישר, שיפוע מינימלי, תחום סגור, משיק עם t, ★ קטע בתחום סגור

דף לדוגמה (רמה בינונית)

שם: כיתה: תאריך:

חקירת פונקציית פולינום — דף עבודה

כיתה י׳ 4 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: נגזרת פולינום

גזרו את הפונקציות וענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = 4x7
  2. ב.
    נכון או לא נכון: אם f(x) = −2x2 + 5 אז f'(x) = −2x

שאלה 2: ערך הנגזרת

מצאו את הנגזרת והציבו בה, או פתרו את המשוואה שבשאלה.

  1. א.
    f(x) = −3x3 − 3x2 − 3x + 6. חשבו f'(−3), f'(−1)
  2. ב.
    y = 2x2 − 6x − 5. עבור איזה x מתקיים y' = −2?

שאלה 3: שיפוע משיק

שיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת בה. ענו על השאלות.

  1. א.
    y = −x3 + 5x2 + 3x + 8. מצאו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה x = 1
  2. ב.
    y = 2x2 − 2x − 9. הראו שהנקודה A(−2;3) נמצאת על הגרף, ומצאו את שיפוע המשיק בה.

שאלה 4: משוואת משיק לגרף הפונקציה

משוואת המשיק: y − y₀ = m(x − x₀), כאשר m = f′(x₀). רשמו את התשובה בצורה y = mx + b.

  1. א.
    מצאו את משוואת המשיק לגרף y = x2 + 8x + 5 בנקודה x = −4
  2. ב.
    מצאו את משוואת המשיק לגרף y = 2x3 + 5x − 1 בנקודה A(−3;−70)

שאלה 5: משיק עם פרמטרים

הפרמטרים הם מספרים קבועים. רשמו את התנאי כמשוואה ופתרו.

  1. א.
    גזרו (k פרמטר): y = x3 + 4kx2 + k2x
  2. ב.
    f(x) = ax3 − x2, ושיפוע המשיק לגרף בנקודה x = −1 הוא −7. מצאו את a.

שאלה 6: נגזרות פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי

גזרו בכלל השרשרת: [(g(x))n]′ = n(g(x))n − 1 · g′(x).

  1. א.
    f(x) = (−4x + 3)3
  2. ב.
    f(x) = (7 − 2x)5. חשבו f'(3)

שאלה 7: נגזרת מכפלת שתי פונקציות

כלל המכפלה: (f · g)′ = f′ · g + f · g′.

  1. א.
    גזרו בשתי דרכים (כלל המכפלה; פתיחת סוגריים): y = x2(−3x + 2)
  2. ב.
    f(x) = x2 − 2, g(x) = x3 − 4x, h(x) = f(x) · g(x). חשבו h′(−2) בעזרת כלל המכפלה

שאלה 8: מציאת נקודות קיצון

מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן (לפי סימן הנגזרת).

  1. א.
    y = −3x2 + 18x − 19
  2. ב.
    לפניכם סקיצה של גרף y = x3 − 6x2 + 4. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
    xy

שאלה 9: מציאת תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה (סימן הנגזרת בכל קטע).

  1. א.
    y = −2x3 + 6x − 1
  2. ב.
    לפניכם סקיצה של גרף y = x3 − 9x2 + 15x − 6 ובה נקודות הקיצון A(1;1) ו־B(5;−31). רשמו את תחומי העלייה והירידה.
    xyAB

שאלה 10: חקירה מלאה

ענו על השאלות.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = −x3 − 2x2.
    1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
      1. 1. תחום הגדרה
      2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
      3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
      4. 4. תחומי העלייה והירידה
      5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
  2. ב.
    בסרטוט גרף y = x3 − 6x2 + 9x − 4 ועליו הנקודות: A — מינימום, B — מקסימום, C — נקודת החיתוך הימנית עם ציר x, D — נקודת החיתוך עם ציר y. מצאו את שיעורי הנקודות.
    xyABCD

שאלה 11: נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן נקודות קיצון

נקודה שבה f'(x) = 0 היא נקודת קיצון רק אם f' מחליפה בה סימן. ענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = −3x4 − 20x3 − 42x2 − 36x + 8. מצאו את כל הנקודות שבהן f'(x) = 0, וקבעו לכל אחת אם היא מקסימום, מינימום או לא נקודת קיצון.
  2. ב.
    y = −3x4 + 16x3 − 30x2 + 24x + 2. הראו ש־y'(1) = 0, אבל (1;9) אינה נקודת קיצון.

שאלה 12: חקירה עם פרמטרים

ב־נקודת קיצון f'(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן. מצאו את הפרמטרים ובדקו שהנקודה אכן קיצון.

  1. א.
    לפונקציה y = −x2 + ax + 8 יש נקודת קיצון ב־x = −3. מצאו את a ואת נקודת הקיצון.
  2. ב.
    לפונקציה y = 2x3 + 3x2 + ax − 3 יש נקודת קיצון ב־x = 3.
    1. א. מצאו את a.
    2. ב. מצאו את שתי נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

שאלה 13: חקירה — הבעה באמצעות פרמטרים

התשובות — ביטויים בפרמטר. סימן הפרמטר הנתון קובע את סדר הנקודות.

  1. א.
    y = x2 − 4ax + 8. הביעו באמצעות a את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.
  2. ב.
    y = −x2 + 2x + m.
    1. א. הביעו באמצעות m את נקודת הקיצון.
    2. ב. מצאו את m אם שיעור ה־y של נקודת הקיצון הוא −4.

שאלה 14: חקירת פונקציה מורכבת

ענו על השאלות.

  1. א.
    y = (6 − x)4 + 1. מצאו את נקודות הקיצון
  2. ב.
    y = (x + 1)5. מצאו את תחומי העלייה והירידה

שאלה 15: חקירת פונקציית מכפלה של שתי פונקציות

ענו על השאלות.

  1. א.
    y = (x − 1)2(x + 2). מצאו את נקודות הקיצון
  2. ב.
    y = (x − 5)2(x − 2). מצאו את תחומי העלייה והירידה

שאלה 16: פונקציה זוגית ואי־זוגית

זוגית: f(−x) = f(x) (סימטריה לציר y); אי־זוגית: f(−x) = −f(x) (סימטריה לראשית).

  1. א.
    הוכיחו שהפונקציה f(x) = −8x5 + 5x אי־זוגית
  2. ב.
    קבעו אם f(x) = −3x2 + 3 זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית, ונמקו

שאלה 17: הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת שלה

f עולה ⇔ f′ > 0; קיצון ⇔ f′ מחליפה סימן; f′ = 0 בלי החלפת סימן — לא קיצון.

  1. א.
    בסרטוט גרף הפונקציה f — פרבולה שנקודת המקסימום שלה A(3;2).
    1. א. רשמו את תחומי העלייה והירידה של f.
    2. ב. באיזו נקודה גרף f′ חותך את ציר x?
    3. ג. היכן f′ חיובית והיכן שלילית?
    xyAf
  2. ב.
    לפונקציה f יש מקסימום ב־x = −3 ומינימום ב־x = −1 בלבד. איזה מהגרפים 1–4 יכול לתאר את f′?
    xy−3−1
    גרף 1
    xy−3−1
    גרף 2
    xy−3−1
    גרף 3
    xy−3−1
    גרף 4

שאלה 18: בעיות קיצון מספריות

סמנו משתנה, הביעו את הגודל שמחפשים כפונקציה שלו, גזרו, ובדקו שהנקודה היא אכן מקסימום / מינימום (ובתחום סגור — גם את הקצוות).

  1. א.
    סכום שני מספרים הוא 19. נסמן ב־x אחד מהם.
    1. א. הביעו באמצעות x את מכפלתם.
    2. ב. מצאו את שני המספרים שמכפלתם מקסימלית.
    3. ג. מהי המכפלה המקסימלית?
  2. ב.
    מבין כל זוגות המספרים שאחד מהם גדול מהשני ב־4, מצאו את הזוג שסכום ריבועיהם מינימלי, ואת הסכום

שאלה 19: בעיות קיצון גיאומטריות

הביעו את השטח (או ההיקף, הנפח) כפונקציה של משתנה אחד, גזרו ובדקו את סוג הנקודה. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

  1. א.
    מה צריכות להיות מידות הגינה כדי ששטחה יהיה מקסימלי? גינה מלבנית גובלת בנהר, ובצד הנהר אין גדר. לשלושת הצדדים האחרים יש 24 מטר גדר.
    xנהר
  2. ב.
    מריבוע של אלומיניום שצלעו 12 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו x ס״מ (ראו סרטוט), ומקפלים את הדפנות כלפי מעלה. כך מתקבלת תבנית פתוחה בלי מכסה.
    1. א. הביעו באמצעות x את נפח התבנית.
    2. ב. מה צריך להיות x כדי שהנפח יהיה הגדול ביותר? מהו הנפח?
    12x

שאלה 20: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים

נקודה על גרף: (x;f(x)). הביעו את הגודל המבוקש באמצעות x, גזרו ובדקו את סוג הנקודה (בתחום סגור — גם את הקצוות).

  1. א.
    A היא נקודה על הישר y = −3x + 12, ברביע הראשון. מ־A מורידים אנכים לצירים, ונוצר מלבן עם ראשית הצירים. לאיזה מיקום של A שטח המלבן הוא הגדול ביותר האפשרי? מצאו את שיעורי A ואת השטח.
    xyAO
  2. ב.
    הנקודה A נמצאת על הפרבולה y = −x2 + 9x ברביע הראשון. B היא רגל האנך מ־A לציר x. מה צריכים להיות שיעורי A כדי ששטח המשולש OAB (O — ראשית הצירים) יהיה מקסימלי?
    xyABO

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

דף תשובות

חקירת פונקציית פולינום · כיתה י׳ 4 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: נגזרת פולינום

  1. א.
    f'(x) = 28x6
  2. ב.
    לא נכון; f'(x) = −4x

שאלה 2: ערך הנגזרת

  1. א.
    f'(−3) = −66, f'(−1) = −6
  2. ב.
    x = 1

שאלה 3: שיפוע משיק

  1. א.
    שיפוע המשיק: 10
  2. ב.
    y(−2) = 3 ✓; שיפוע המשיק: −10

שאלה 4: משוואת משיק לגרף הפונקציה

  1. א.
    y = −11
  2. ב.
    y = 59x + 107

שאלה 5: משיק עם פרמטרים

  1. א.
    y' = 3x2 + 8kx + k2
  2. ב.
    a = −3

שאלה 6: נגזרות פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי

  1. א.
    f'(x) = −12(−4x + 3)2
  2. ב.
    f'(3) = −10

שאלה 7: נגזרת מכפלת שתי פונקציות

  1. א.
    כלל המכפלה: y' = 2x(−3x + 2) − 3x2 = −9x2 + 4x; פתיחה: y = −3x3 + 2x2 ⇒ y' = −9x2 + 4x
  2. ב.
    h′(−2) = 16

שאלה 8: מציאת נקודות קיצון

  1. א.
    (3;8) מקסימום
  2. ב.
    (0;4) מקסימום, (4;−28) מינימום

שאלה 9: מציאת תחומי עלייה וירידה

  1. א.
    עלייה: −1 < x < 1; ירידה: x < −1 או x > 1
  2. ב.
    עלייה: x < 1 או x > 5; ירידה: 1 < x < 5

שאלה 10: חקירה מלאה

  1. א.
    א. 1. תחום הגדרה: כל x
    2. חיתוך עם הצירים: (−2;0), (0;0)
    3. קיצון: (−43;−3227) מינימום, (0;0) מקסימום
    4. עלייה: −43 < x < 0; ירידה: x < −43 או x > 0
    5. סקיצה:
    xy(−2;0)(−4/3;−32/27)(0;0)
  2. ב.
    A(3;−4), B(1;0), C(4;0), D(0;−4)

שאלה 11: נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן נקודות קיצון

  1. א.
    f'(x) = −12(x + 3)(x + 1)2; (−3;35) מקסימום, (−1;19) לא קיצון
  2. ב.
    הוכחה (y' = −12(x − 1)2(x − 2); y' חיובית משני צדי x = 1)
    1. y' = −12x3 + 48x2 − 60x + 24 = −12(x − 1)2(x − 2)
    2. y'(1) = 0
    3. (x − 1)2 > 0 לכל x ≠ 1, והגורם −12(x − 2) חיובי ב־x = 1 ובסביבתה (ב־x = 1 ערכו 12)
    4. ולכן y' חיובית משני צדי x = 1 — הנגזרת לא מחליפה סימן, ו־(1;9) אינה נקודת קיצון (הפונקציה עולה משני צדיה)

שאלה 12: חקירה עם פרמטרים

  1. א.
    a = −6; (−3;17) מקסימום
  2. ב.
    א. a = −72 ב. (−4;205) מקסימום, (3;−138) מינימום

שאלה 13: חקירה — הבעה באמצעות פרמטרים

  1. א.
    (2a;−4a2 + 8) מינימום
  2. ב.
    א. (1;m + 1) מקסימום ב. m = −5

שאלה 14: חקירת פונקציה מורכבת

  1. א.
    (6;1) מינימום
  2. ב.
    עלייה: כל x; ירידה: אין

שאלה 15: חקירת פונקציית מכפלה של שתי פונקציות

  1. א.
    (−1;4) מקסימום, (1;0) מינימום
  2. ב.
    עלייה: x < 3 או x > 5; ירידה: 3 < x < 5

שאלה 16: פונקציה זוגית ואי־זוגית

  1. א.
    הוכחה (f(−x) = 8x5 − 5x = −f(x))
    1. f(−x) = −8(−x)5 + 5(−x) = 8x5 − 5x
    2. כל החזקות אי־זוגיות, ולכן f(−x) = −f(x)
    ; אי־זוגית
  2. ב.
    זוגית: f(−x) = −3x2 + 3 = f(x)

שאלה 17: הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת שלה

  1. א.
    א. עלייה: x < 3; ירידה: x > 3 ב. x = 3 ג. f′ > 0: x < 3; f′ < 0: x > 3
  2. ב.
    גרף 2 (f′ מחליפה סימן מ־+ ל־− ב־x = −3 ומ־− ל־+ ב־x = −1)

שאלה 18: בעיות קיצון מספריות

  1. א.
    א. x(19 − x) ב. 192 ו־192 ג. 3614
  2. ב.
    −2 ו־2; סכום הריבועים 8

שאלה 19: בעיות קיצון גיאומטריות

  1. א.
    שני הצדדים הניצבים לנהר 6 מ׳, הצד המקביל 12 מ׳; שטח 72 מ״ר
  2. ב.
    א. V = x(12 − 2x)2 ב. x = 2 ס״מ; הנפח 128 סמ״ק (הבסיס 8 × 8, הגובה 2)

שאלה 20: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים

  1. א.
    A(2;6); שטח 12
  2. ב.
    A(6;18); שטח 54

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

הדף המלא מחכה לכם

כניסה בחינם עם Google פותחת את כל התרגילים ואת דף התשובות.

המשך עם Googleבלי סיסמה ובלי כרטיס אשראי. אחרי הכניסה חוזרים לכאן.

צרו דף חדש בנושא

שאלות נפוצות

האם הדף חינמי?

כן. כניסה בחינם עם Google פותחת את הדף המלא ואת דף התשובות, ואפשר ליצור במחולל דפים חדשים.

יש דף תשובות?

כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.

האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?

כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 4 יח״ל.

אפשר להכין מבחן או בוחן בנושא?

כן. במחולל בוחרים את סוגי התרגילים של חקירת פונקציית פולינום ואת הרמה, ו„א׳ + ב׳” נותן שתי גרסאות מקבילות של המבחן (כדי שלא יעתיקו), כל אחת עם דף תשובות.

אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?

כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.