פונקציות שורש: דף עבודה ותרגילים לכיתה י׳ 4 יח״ל

11 סוגי תרגילים בנושא פונקציות שורש, מהקל לקשה: משוואות עם שורשים, נגזרת, משיק לפונקציה (בלי ועם פרמטר) ועוד. עם דף תשובות בדוק · מוכן להדפסה או PDF · התחלה בחינם. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.

צרו דף חדש בנושא

מה יש בדף

משוואות עם שורשים: שורש = מספר, אין פתרון, שורש של ריבועי, שורש = לינארי (פתרון זר), הצבה t = √x, שבר עם שורש, שני שורשים, שלושה שורשים, מצאו את הטעות / נכון או לא נכון
נגזרת: k√x וצירופים, k/√x, ערך הנגזרת, שורש של לינארי, שורש של פולינום, מצאו את הטעות, 1/√u, צירופים, הראו ש… / x מנגזרת נתונה
משיק לפונקציה (בלי ועם פרמטר): שיפוע, משוואת משיק, משיק בחיתוך עם ציר, שיפוע נתון / מקביל, פרמטר משיפוע, משולש עם הצירים, ישר עם פרמטר משיק, שני פרמטרים, הבעה באמצעות t / נקודה חיצונית
נגזרת מכפלה ושורש: xⁿ√x, (ax + b)√x, ערך הנגזרת, x√(ax + b), xⁿ√(…), מצאו את הטעות, מכפלה של שני ביטויים, y′ = 0, משיק / הראו ש…
נקודות קיצון פנימיות (בלי ועם פרמטר): √(ריבועי), ax + b√x, √(c − x²), צירוף עם שורש, √(ממעלה 3), פרמטר אחד, שני פרמטרים, הבעה באמצעות פרמטר, הראו / נמקו
תחומי עלייה וירידה: ax + b√x, √(ריבועי), תחום חסום, שני חלקים, x ± k√(…), תחום + קיצון + עלייה וירידה, מכפלה, פרמטר, הוכחה / נכון או לא נכון
חקירה מלאה — ללא פרמטרים: a√x − bx, √(−ריבועי), x − k√(x + a), (x − a)√x, x + k√(c − x), √(ריבועי) בשני חלקים, מכפלה עם x² / (x + a), √(ממעלה 3), c/x + k√x
חקירה מלאה — עם פרמטרים (כולל מציאת פרמטר): פרמטר מנקודת קיצון / מחיתוך / משיפוע, ואז חקירה; בבינוני ובקשה גם סעיפי חשיבה (y = k, פונקציה קשורה, f ו־f′, חסמים, זוגיות)
בעיות קיצון מספריות: מספר ושורשו, סכום קבוע ← סכום שורשים, סכום משוקלל, x + k√(c − x), מספר ועוד k חלקי שורשו, סכום ריבועים ← מכפלה או סכום משוקלל, x√(c − x), סכום שני שורשים, מנה √x/(x + c), פרמטר, תחום סגור והוכחה
בעיות קיצון גיאומטריות: מלבן עם אלכסון נתון (מסך, קורה מבול עץ, ערוגה), משולש עם שוקיים או יתר נתונים (אוהל, גג, מדף), מלבן בחצי עיגול (חלון קשת, מנהרה), מעוין עם צלע נתונה, כבל או צינור בשני מחירים למטר, משאבה ושני בתים, תיבה עם אלכסון נתון, דלתון, הגובה ליתר במשולש ישר־זווית (מפרש, דגלון, גג), טרפז שווה־שוקיים וקטע האמצעים (סוללה, אהיל, שוקת), קטע במשולש, תחום סגור
בעיות קיצון גרפיות: מלבן או משולש מתחת לגרף שורש (עם הצירים, עם ישר x = c, עם נקודה קבועה), קטע אנכי בין גרף לישר, סכום שיעורים, מלבן בחצי עיגול y = √(R² − x²), משיק עם t, נקודה קרובה ביותר, מלבן בין שני גרפים, טרפז מתחת לגרף, נקודה ברביע השני או הרביעי, פרמטר מהמרחק, תחום סגור

דף לדוגמה (רמה בינונית)

שם: כיתה: תאריך:

פונקציות שורש — דף עבודה

כיתה י׳ 4 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: משוואות עם שורשים

פתרו את המשוואות (בדקו את הפתרונות) וענו על השאלות.

א.
√x + 23 = 4
ב.
7 + √2 − x = 6

שאלה 2: נגזרת של פונקציות שורש

גזרו את הפונקציות וענו על השאלות.

א.
y = 3x² − 4√x
ב.
f(x) = 6√x + 9x

שאלה 3: משיק לגרף פונקציית שורש

ענו על השאלות.

א.
y = 3√3x − 23. מצאו את שיפוע המשיק בנקודה x = 16
ב.
מצאו את משוואת המשיק לגרף y = 3√18 − x בנקודה x = 2

שאלה 4: נגזרת של מכפלה עם שורש

גזרו את הפונקציות (רשמו את הנגזרת כשבר אחד) וענו על השאלות.

א.
f(x) = 6x√x
ב.
f(x) = (2x − 3)√x

שאלה 5: נקודות קיצון פנימיות

מצאו את נקודות הקיצון הפנימיות (בתוך תחום ההגדרה) וקבעו את סוגן; ענו על השאלות.

א.
f(x) = √x² + 6x + 45
ב.
f(x) = 4x − 24√x

שאלה 6: תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות וענו על השאלות.

א.
f(x) = 24√x − 3x
ב.
y = √x² − 8x + 20

שאלה 7: חקירה מלאה של פונקציית שורש

חקרו את הפונקציות לפי הסעיפים.

א.
נתונה הפונקציה f(x) = x − 6√x.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
ב.
נתונה הפונקציה f(x) = √−x² + 6x − 5.
1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה 8: חקירה מלאה עם פרמטרים

ענו על הסעיפים.

א.
נתונה הפונקציה f(x) = −x + a√x, ולה נקודת קיצון ב־x = 16.
1. א. מצאו את a.
2. ב. הציבו את a שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
ב.
נתונה הפונקציה f(x) = (a − x)√x, וגרפה חותך את ציר x בנקודה (3;0).
1. א. מצאו את a.
2. ב. הציבו את a שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:
  1. 1. תחום הגדרה
  2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
  3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
  4. 4. תחומי עלייה וירידה
  5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה 9: בעיות קיצון מספריות

סמנו משתנה, הביעו את הגודל שמחפשים כפונקציה שלו, גזרו, ובדקו לפי סימן הנגזרת שהנקודה היא אכן מינימום / מקסימום (ובתחום סגור — גם את הקצוות).

א.
מצאו מספר חיובי שאם נחסיר את פי 3 ממנו מפי 12 משורשו הריבועי, נקבל תוצאה מקסימלית. מהי התוצאה?
ב.
סכום שני מספרים חיוביים הוא 8. נסמן ב־x אחד מהם.
1. א. הביעו באמצעות x את סכום השורשים הריבועיים של שני המספרים.
2. ב. מה צריכים להיות המספרים כדי שסכום השורשים יהיה מקסימלי?
3. ג. מהו הסכום המקסימלי?

שאלה 10: בעיות קיצון גיאומטריות

הביעו את הגודל המבוקש כפונקציה של משתנה אחד (בעזרת משפט פיתגורס), גזרו ובדקו את סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

א.
מצאו את אורכי הצלעות של המלבן שהיקפו מקסימלי, ואת ההיקף. נתון מלבן ABCD שאלכסונו 2√2 ס״מ.
ב.
סיכה בצורת מעוין ABCD, ואורך כל צלע שלה 6√2 ס״מ. M נקודת המפגש של האלכסונים, ונסמן MC = x.
1. א. הביעו באמצעות x את MB.
2. ב. מה צריכים להיות אורכי האלכסונים כדי ששטח הסיכה יהיה הגדול ביותר? מהו השטח?

שאלה 11: בעיות קיצון גרפיות

הביעו את הגודל המבוקש כפונקציה של משתנה אחד, גזרו ובדקו את סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

א.
מבין הנקודות על גרף הפונקציה y = 4√x + 10, מצאו את הנקודה שבה ההפרש x − y מינימלי, ואת ההפרש
ב.
מצאו את שיעורי הקדקוד C שעבורם שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח. הקדקודים A ו־B של המלבן ABCD נמצאים על ציר x, והקדקודים C ו־D על גרף הפונקציה y = √18 − x² (ראו סרטוט).

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

דף תשובות

פונקציות שורש · כיתה י׳ 4 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: משוואות עם שורשים

א.
x = −7
ב.
אין פתרון (שורש אינו שלילי)

שאלה 2: נגזרת של פונקציות שורש

א.
y' = 6x − 2√x
ב.
f'(x) = −9x² + 3√x

שאלה 3: משיק לגרף פונקציית שורש

א.
910
ב.
y = −3x8 + 514

שאלה 4: נגזרת של מכפלה עם שורש

א.
f'(x) = 9√x
ב.
f'(x) = 6x − 32√x

שאלה 5: נקודות קיצון פנימיות

א.
(−3;6) מינימום
ב.
(9;−36) מינימום

שאלה 6: תחומי עלייה וירידה

א.
עלייה: 0 < x < 16; ירידה: x > 16
ב.
עלייה: x > 4; ירידה: x < 4

שאלה 7: חקירה מלאה של פונקציית שורש

א.
א. 1. x ≥ 0
2. (0;0), (36;0)
3. (0;0) מקסימום בקצה, (9;−9) מינימום
4. עלייה: x > 9; ירידה: 0 < x < 9
5. סקיצה:
ב.
א. 1. 1 ≤ x ≤ 5
2. (1;0), (5;0); אין חיתוך עם ציר y
3. (1;0) מינימום בקצה, (3;2) מקסימום, (5;0) מינימום בקצה
4. עלייה: 1 < x < 3; ירידה: 3 < x < 5
5. סקיצה:

שאלה 8: חקירה מלאה עם פרמטרים

א.
א. a = 8
ב. 1. x ≥ 0
2. (0;0), (64;0)
3. (0;0) מינימום בקצה, (16;16) מקסימום
4. עלייה: 0 < x < 16; ירידה: x > 16
5. סקיצה:
ב.
א. a = 3
ב. 1. x ≥ 0
2. (0;0), (3;0)
3. (0;0) מינימום בקצה, (1;2) מקסימום
4. עלייה: 0 < x < 1; ירידה: x > 1
5. סקיצה:

שאלה 9: בעיות קיצון מספריות

א.
x = 4; התוצאה 12
ב.
א. √x + √8 − x ב. 4 ו־4 ג. 4

שאלה 10: בעיות קיצון גיאומטריות

א.
2 ס״מ ו־2 ס״מ; היקף 8 ס״מ
ב.
א. √72 − x² ב. AC = 12 ס״מ, BD = 12 ס״מ (ריבוע); שטח 72 סמ״ר

שאלה 11: בעיות קיצון גרפיות

א.
(−6;8); ההפרש −14
ב.
C(3;3); שטח 18

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: mathgen.co.il

הדף המלא מחכה לכם

כניסה בחינם עם Google פותחת את כל התרגילים ואת דף התשובות.

המשך עם Googleבלי סיסמה ובלי כרטיס אשראי. אחרי הכניסה חוזרים לכאן.

צרו דף חדש בנושא

שאלות נפוצות

האם הדף חינמי?

כן. כניסה בחינם עם Google פותחת את הדף המלא ואת דף התשובות, ואפשר ליצור במחולל דפים חדשים.

יש דף תשובות?

כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.

האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?

כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 4 יח״ל.

אפשר להכין מבחן או בוחן בנושא?

כן. במחולל בוחרים את סוגי התרגילים של פונקציות שורש ואת הרמה, ו„א׳ + ב׳” נותן שתי גרסאות מקבילות של המבחן (כדי שלא יעתיקו), כל אחת עם דף תשובות.

אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?

כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.